2016春季试题答案.pdf

复旦大学数学科学学院 2015～2016 学年第一学期期末考试试卷 《高等数学 C（I）》试题答案 5 2 1． （本题满分 40 分，每小题 5 分）（1） a   ； （2） 16 ；（3） ； 2 3 （4）在 (  1, e1  1] 上单调减少，在[e1  1，  ) 上单调增加； f (e1  1)  e1 为 极小值； 14 8 3  2   1   1 x2 2 （5） arcsin  C ； （6） e 1   ；（7）收敛；（8）  8 5 2  。 2 2  e  3 2 1   （ 装 订 线 内 不 要 答 题 ） 2． （本题满分 10 分）3 个。 3． （本题满分 10 分）底面半径和高均为 3 4． （本题满分 10 分） A  2 ， B  1 ， C  V 。 π 5 。 4 5． （本题满分 10 分）证： 作函数 1 1 1   f ( x)  ln(1  x)   x  x 2  x 3  x 4  ， x  1 ， 2 3 4   则当 x  (1,  ) 时， 1  1  x  x 2  x3 1 x 1 1  (1  x 2 )(1  x 2 ) 2   (1  x)(1  x )  1 x 1 x x4   0. 1 x f ( x)  这说明函数 f 在 [0,   ) 上严格单调增加，从而当 x  0 时， f ( x)  f (0)  0 ， 即 ln 1  x   x  1 2 1 3 1 4 x  x  x 。 2 3 4 6． （本题满分 10 分） （1） f ( x)  28x6  cx （ c 为任意常数）；（2）无拐点； （3） 不存在。 7． （本题满分 10 分） （1）证；由 sin x  2 π π x（ 0  x  ）知 sin x  x（ 0  x  1 ）， π 2 2 所以 1 π  1 2n 1  1 n n 1 1  。 1  sin x d x  1  x d x = 1  x        0  0 0 2  n 1 n 1 n 1 （2）由于 1 1 2n 2n 1  1 π  n    1  sin x  dx   1  1 dx 2n ， 0 0 n 1 n 1 2   n 利用极限的夹逼性可得 1 n  1 n π  lim   1  sin x  dx  =2 。 n  2   0  