2014年11月第九届力学课程报告论坛——复旦 谢锡麟报告－2014年11月08日.pdf

高校力学课程教学系列报告会（2014） （第九届“力学课程报告论坛”） 2014年11月8-9日 天津 现代张量分析与连续介质力学教学研究与实践 的现有体会 — 数理观点的初级实践 谢锡麟 复旦大学 力学与工程科学系 主要内容：数理观点；若干学术观点；张量分析与连续介质有限变形 理论知识体系构建 “按照近代观点，物理、化学、天体物理、地球 物理、生物物理可以全部归纳为物理科学。力学 是物理科学的，数学又是所有学科的共同工具， 力学和数学原是科学发展史上的孪生子，因此， 形象的可以认为，物理科学是一根梁，力学和数 学是它的两根支柱。” —— 谈镐生先生 数学是物理的一部分；物理是自然科学，且是实 验科学；数学是物理中“做实验”比较“便宜” 的那部分。 —— （俄）V.I.Arnold 谈镐生 Arnold 真实实验、数值实验、数学实验 —— 在某些情况下“数学实验”的结果可 直接确认为真理；而其它二类实验往往由于无法穷尽或者精度问题而不能单方 面就确认为真理。 较多形式为数学实验与真实实验的结论加以相互验证。 曲边扇形 N N 1 2 inf R    i   S real ,i  S real   ,   i 1 2 i 1 i i 1 N 1 sup R 2    i i 1 2 i 1 ,i   1  2 inf R        i  ,  b 1  i 1 2 i 1 i 2  R   d，as P  0   N  a 2 1 sup R 2    i    i 1 2 i 1 ,i  N 曲线弧长 数学实验的结论可 直接确认为真理 N  lim  r  ti   r  ti 1  3   P 0 i 1   x 2  y 2  z 2  t  dt 数学实验的结论不 可直接确认为真理 背景调研 俄罗斯 国立莫斯科大学 力学数学系：力学专业（专家种类 力学家） 教学计划 职业课程 3890 1 数学分析 1--4 1--4 768 512 256 256 256 8 2 分析几何 1 1 202 144 72 72 58 8 3 线性代数和 几何 2 2 179 128 64 64 51 4 代数学 1 1 151 108 54 54 43 5 微分几何 4 3 190 136 68 68 54 6 数学物理方 程 6 5 190 136 68 68 54 4 4 7 复分析 5,6 5 190 136 68 68 54 4 4 8 概率论 7 7 101 72 36 36 29 9 数理统计和 随即过程 8 8 90 64 32 32 26 10 微分几何与 拓扑 4 90 64 32 32 26 5,6 190 136 68 68 54 4 4 5-8 286 204 82 3 3 3,5 3,4,5 361 258 138 120 103 连续介质力 学基础 4 4 134 96 64 32 38 连续介质力 15 学 （ 数 学 模 型） 5,6 5,6 238 170 102 68 68 16 控制系统力 学 8 7 143 102 68 34 1 离散数学 7,8 190 136 68 3 101 72 36 7,8 95 68 11 泛函分析 12 物理力学实 习 13 理论力学 14 2 3 5,6 经典微分几何 计算机实习 3 204 68 8 8 6 4 4 8 6 4 4 4 3 3 41 3 3 68 54 4 4 36 29 2 2 27 5 6 4 6 5 5 4 专门课程（译 者注：主要是 各个教研室 开设的不同 研究方向的 专业课程） 1000 全年的专门 课程 6,8 204 136 136 68 半年的专门 课程 7,9 108 72 72 36 挑选大学生 的专门课程 10 102 68 68 34 586 204 科研工作 6,8,9, 6,8,10 10 204 2 2 2 2 2 382 2 2 2 2 2 2 4 2 4 还包括：专门 的讨论班 课程作业 毕业论文 学期分布 教学工作量/小时 年级和学时分配 一年级 学科名称 考试 测验 课程 工作 设计 量 包括课堂作业 二年级 三年级 四年级 五年级 1 2 3 4 5 6 7 8 9 独立 学习 18 周 16 周 18 周 16 周 18 周 16 周 18 周 16 周 18 周 总数 讲课 实习 讨论 实验 10 8周 周学时 1. 具有通识教育的理念，涉及哲学、经济、社会、语言等课程 2. 数学基础：类比一般数学专业程度；数理基础：力学以理论力学、连续介质力学、 控制力学为基础，物理学可类比一般物理学专业 3. 主要课程明确 讲课 、讨论、独立学习 三部分，三部分时间基本均等 “数理观点” — 基于坚实数 理知识体系之 上的“融会贯 通 、 触 类 旁 通”，以此实 现“学问”向 “能力”的进 阶；表现为按 数量方式，认 知自然世界及 非自然世界的 一种具有统一 性的世界观 数理观点：“数学知识体系”—— 基础层面、高级层面 常微分方程 （有限自由度系统） 微积分 （有限、无限自由 度系统） 线性代数 （有限自由度系统） 偏微分方程 （无限自由度系统） 基础层面 复变函数 自然延伸 核 心数 知学 类 识 体专 系业 概率与统计 测度论 泛函分析 现代几何学 高级层面 谨认为，数学应理解为认知自然及非自然世界的系统的思想与方法，而非仅是逻辑过程。对 数学作为的认识取决于对数学的认识。微积分等的教学应注重“数学对象的背景”、“数学 对象的分析”、“分析结论的应用”这三个方面。 基数 础理 层观 点 面： 、“ 高专 级业 层知 识 面体 —— 系 ” 核 心物 知理 学 识 体专 系业 谨认为，数理教学的广度与深度能类比“俄罗斯数学教材选译”，“Landau & Lifshitz的理论物理学教程”，才能称为“世界一流水平甚至顶尖水平” —— 目前 国内一流大学的数理教学的根本问题应在于“这种差距”，实质性地在于我们缺乏 对高端知识体系自身及其传播的认识与经验！原因在于时下的学术评价机制，太过 强调“显式成果”而忽略“隐式修养”。 弹性力学 （无限自由度系统） 理论力学 （有限自由度系统） 材料力学 流体力学 （无限自由度系统） 基础层面 自然延伸 控制力学 （有限、无限自由 度系统） 电动力学 热力学/统计力学 量子力学 振动力学 （有限、无限自由 度系统） 高级层面 核 心力 知学 类 识 体专 系业 观点：基于数学认知自然的“深层机 制”—— 就此往往无法基于直观认识 船舶靠岸 如果行进的速度是距离的光滑（线性）函数，则整个靠岸的过程将会耗费无穷 长的时间 ，由此最终弹性撞击不可避免 —— Arnold 数学机制：瑕积分 敛散性 转轨设计 过渡曲线需同严格 2 阶以上的多项式密切 —— 菲赫金哥尔茨 肉眼可以辨识一阶导数连续性， 但无法辨识二阶导数连续性 y  方案一 0   f  x   2 2 R  R  x    方案二 n an  0  0   0 as x  0  2  V  0 as x  0 an  0  0    R 当 p  2， as x  0  0 n f  x   an  0  0   0 p   x as x  0 有   x an  0  0   0 o 观点：数学通识 —— 我们生活的世界丰富多彩，但上帝也许就用一样东西创 造了这些，这就是“数学机制”或“数学通识”—— 以某种数学结构或性质为 载体，比定理等结论具有更高的归纳性，跨越不同课程甚至学科 —— 基于数 学通识，可追求数理知识体系间的“融会贯通、触类旁通” 三阶反对称阵及其对偶向量 微积分：Stokes 公式 j k  0 3 2   a1  i j k   3 0 1    a2   1 2 3    a  力 学：速度、加速度  2 1 0   a3  a1 a2 a3 合成原理   a : i 对称正定及对称阵的同时对角化 T  G A  PSym  AG=Im  , G 非奇异, s.t.  T  B  Sym  G BG=  1 , Von de Monde行列式 1 1 1 x1 x2 xn x12 x22 xn2  0 , m  T  微分几何：曲面曲率 理论力学：振动模态 教学上可注重“利用已有的知识发展新的知识”， 使得学生感受“温故而知新”的高效率学习效果 计算方法：多项式拟合  数学物理：函数的光滑沿拓 微分学：高阶多项式逼近的唯一性 x1n 1 x2n 1 xnn 1 观点：曲线坐标系/微分同胚 将几何 形态不规则的物理区域变换为几何形态 规则的参数域 叶片向量值映照 o n k  o  沿轴向的旋转 叶片旋转形成叶片间空间的曲线坐标系/微分同胚 曲线坐标系存在的几何意义 旋转叶片间区域的 曲线坐标系（本组） m+1维空间中m维曲面 微分流形观点下，按微分同胚观点定 义的曲面的坐标卡及其坐标转换规则 研究事例：壁面变形 —> 边界涡量流 —> 流场内大尺度旋涡结构 边界涡量流：流向涡产生机制 截 面 法 向 涡 量 分 布 观点：局部基 典则基是最简单的基，但对具体问题往往不是最合适的基 流体相对于可变形壁面的变形率张量（本组）  1 1   D  D      V  n  n     W  n   n  n     W  n  2 2    薄壁的变 形率张量    1  D :  V    V  2      薄壁变形的 附加涡量  3  W :    V  V  K   n   单位正交 基 不可压缩 流动 理论预示 不可压缩流体在不可压缩薄壁表面上的相对最大拉伸与压缩方向位于垂直于 综合涡量的平面，且同法向量呈45o夹角。 x3-线 X3 g1  xa  3 g3  xa  x -线 x2 -线 g2  xd  g2  xa  o g3  xd  a g1  xd  x3 a x1-线 x -线 l  j  x   i2  =l  j  x     i   x  :  i j  x  gi  g j  x  x2   x   i2     x   x lim 2    0 x  多元函数可微性 x1 1 i 2 x1-线 x1-线 o 极限分析 极限，定义张量场 整体沿坐标线的偏 b x -线 导数，并作极限分 析，导出协变导数 b X2 X1  i j x 观点：极限 基于 x3-线 x3-线 1 x  o       2 gi x  o  x   g i  x      t2i  x  g t  x   o     m 2   x g j j j g  x   i2   g  x     2  x   o  x   g j  x      2j t  x  g t  x   o     m x gi  x   i2   gi  x         T     3 m m  m  m ; Tp   m    1 i ip i1 i p 向量值映照可微性 张量范数  i j  g j i j j i g i j i i j  g  g x  x g  g   x  g   g  x  :   g  g           j i i j j i 2 j i x 2 x 2 x 2 x 2 定义微分型 算子  左作用：      g s s  x   x 右作用：     gs   x s   x   x x s gs 协变导数作为极限的表示 ， 可为  ， ， 处理张量场整体沿坐标线 偏导数的极限分析依然适 用于曲面上张量场   x  :  i j 3  x  gi  g j  n  x  极限分析结果   i j x =  g  g  n   x      j3 i l l x x  i j 3 gi g j n j i i j  x g  g  n   x  g  n   g  x  n   g  g  x   i j3 j3 i j3 i l l   l   l   x x x x j i lis g s  bli n lsj g s  bl j n 基于标架运动方程整理的结果  i j  g  g  n   x   j 3 i l x  l  i j 3 gi  g j  n   i j 3bli n  g j  n   i j 3bl j gi  n  n   i j 3bls g i  g j  g s bls g s 理念：基于“已有的知识”研究新的对象， 从而发展出“新的知识” 构 型 构 造 变形梯度 1. 相对于体积理论，曲面理 论将全空间梯度算子替换 为曲面梯度算子 2. 按曲面理论，曲面几何特 征（曲率）将直接参与至 守恒律方程 3. 现曲面理论 RiemannChristoffel 张量非零 面输运方程  dF    V    F  dt       d F  V    F    dt     质量 守恒 曲面形态连续介质的有限变形 理论—运动学 （本组）  d  d   dt  d    dt      d ,  : V  t    t     d  nd   d  n    B  n   d , B   I   V  t  dt  dt t      d  d     V      sV s  HV 3  =0 dt dt 曲面形态连续介质的有限变形理论—动力学（本组） 内蕴形式广义Stokes公式      dl  n    d           dl    n     d        n      dl       Hn   d          n dl     H   n    d     曲面应力 t  ti j gi  g j  ti3 gi  n 动量守恒 积分方程   t  ad  t   n   tdl  t f d = t   t  f   d 动量守恒 微分方程 s s   a   t  b t  l s j sl  j  f l  a   t  f ； s i j  a   t  b  s 3 j ti  f n  n      几何形态为曲面的连续介质的有限变形理论 应用事例 振轴 动对 （称 本膜 组的 ）有 限 变 形 位移 Z (A=15) 固定曲面上二维不可压缩流动 Re = 100 （本组） 密度 ρ(A=15) 理念：建立数学与力学之间的“桥梁” 基 于 曲 面 的 半 正 交 系 及 相 关 梯 度 算 子  x1    X  x  : Dx  x   x2   X  x     x     n  x      曲面梯度算子     k    k i j g x , t   g  g  g    x , t      j i k  k x  x    k  i j g k gi  g j   i j bki g k n  g j   i j bkj g k g i  n    i   n  x ,   0, t   X   全空间梯度算子  Levi-Civita 算子  k   i j gi  g j   k  i j gi  g j C x 固定曲面上二维流动 的涡量动力学理论 理念：建立数 学与力学之间 的“桥梁” 流形上Lie导数 定义式 LV   i j gi  g j  计算式    i j i j lim   j  x  , t  , t  gi  g  x  , t      j   g i  g  , t   t 0 t    i    j  x  , t  , t  G i  G j  x, t    i j   Gi  G j   lim  t 0 t LV   i j gi  g j    i j i   j s V i s V s i V  s  j  j s s t x x x 分量 形式 依赖 性 基于推前 基于拉回 LV   i j gi  g j   LV   i j g i  g j  2 D is  sj gi  g j +2 D js  is gi  g j LV V i gi  lim V i 非定常项 gi t  V i  x  , t  , t  g i  x  , t    V i   g i  , t  t 0 t 对流项 V s   sV i  gi L V gi  C V i 物质导数的分解  LV Vi g  i Vi  x  , t  , t  g  x  , t    Vi   g  , t  i lim t 0 i t  V   g i  , t   V i   Gi   lim t 0 t i  L Vi g  C V i Vi   g i  , t   Vi   G i   lim t 0 t 郭仲衡所著《张量（理论和应用）》 郭仲衡所著《非线性弹性理论》 知识体系 知识体系 ① 张量的代数性质（张量定义为多重线性映照） ① 有限变形理论（连续介质几何形态默认为 ② 仿射量的基本性质（基于外积运算） Euclid流形）。理论框架上分别对初始物理构 ③ 张量值映照微分学（含各向同性张量值映照的 形以及当前物理构形引入曲线坐标系，理论发 表示理论等） 展上按变形梯度及其基本性质，变形刻画，输 ④ 微分几何中曲线论与曲面论的基本内容（主要 运方程，守恒律方程等。 包括局部标架及其运动方程） ⑤ 现在几何学中相关思想及方法（包括基于同态 映照的推前及拉回，Lie导数，Hodge星算子，内 导数，外微分以及相关运算之间的关系），对此 部分内容的叙述虽然未引入微分流形的概念，但 所述的相关思想及方法可以几近完全地移植于流 形上的分析，且数学分析上非常清晰。 ⑥ 张量分析在连续介质中的基本应用（几何形态 ② 有限变形弹性静力学、有限变形弹性动力学 若干典型事例的半解析求解。 ③ 变分原理。 —— 值得指出，基于《张量（理论和应用）》 所载张量分析的知识体系，研习《非线性弹性 理论》就显得较为自然而无数学以及力学分析 默认为Euclid流形），包括变形刻画，输运方程； 上的困难。 另涉及同态扩张以及Lie导数等在连续介质力学中 的应用，但书著中未对这部分内容做深入阐述。 《现代张量分析及其在连续介质力学中的应用》谢锡麟 2014 张量定义及其基 本代数性质 张量之多重线性映照定义；张量表示；张量基本代数运算；外积 运算；仿射量基本性质（特征问题，谱分解，极分解） 有限维Euclid空 间中体积上张量 场场论 一般曲线坐标系下场论；张量场一点及多点形式的非完整基理论 （涉及非完整单位正交基）；Gauss-Ostrogradskii公式（涉及 涡动力学中动量导数矩理论）；应用事例：可压缩湍流时均方程， 基于曲面的半正交系及其在旋转机械流动中的应用（吴仲华理 论），可变形机翼三维绕流，可变形壁面槽道流等 有限维Euclid空 间中面积上张量 场场论 曲面论第一、第二基本形式；Gauss曲率及平均曲率；截线曲率， 主曲率及主方向；曲面局部参数化；Riemann-Christoffel张量； 内蕴形式广义Stokes公式；光滑曲面的微分流形定义；曲面上 微分运算（Lie导数，外微分）；流形上积分及Stokes公式 体积形态连续介 质力学相关理论 当前物理构型对应之曲线坐标系显含时间的有限变形理论；可变 形边界上涡量动力学（吴介之等主要发展）；相关应用 曲面形态连续介 质力学相关理论 几何形态为曲面的连续介质的有限变形理论；固定曲面上二维流 动涡量动力学；应用事例：固定曲面上二维流动，海面油污扩散， 膜振动 张量映照微分学 基于一般赋范线性空间上微分学给出张量映照微分学 —— 的相研 学关习 术学、 活问继 动 承 方 、 式 发 绝展 非、 平传 凡播 郭仲衡在一份自述中写道：“在吸收 老师们的知识雨露的同时，我更不忘 揣摩他们的治学态度和高尚品 德。……我执教北大，在教学生的同 时，我从来没有忘记帮助他们养成严 谨的治学作风和与人为善的处世态度， 以师长对我的态度来培养青出于蓝而 胜于蓝的学生是对我的师长的最好的 报答。” 1. 数理知识体系的内容是客观存在的，且同一知识体系以及不同知识体系之 间具有内在的相似性（数理通识），可藉此实现 融会贯通、触类旁通 2. 以研究力学、数学、物理相关数理知识体系为核心，将数理知识体系上升 为认知自然及非自然世界的系统的思想及方法（世界观），藉此驱动教学 与科研。数理知识体系应该是最为本质的原创或创新思想及方法的源泉。 本报告涉及的学习、研究与教学主要受以下教研、科研项目资助 1. 2011年度上海市教育委员会重点课程项目 “‘数学分析’（一年制，面对力学等技术科学专业）”，执 行期2011－2013年 2. 2011年度上海市教育委员会重点教改项目 “‘现代连续介质力学理论及实践’课程体系”，执行期2011 －2012年 3. 2014年度上海市教育委员会重点教改项目 “力学-数学-物理学相关知识体系之间互为借鉴与融合的教学研 究与实践” 4. 国家自然科学基金面上项目“真实开放流场对应的Navier-Stokes 方程的空间动力学行为新探索（ No.10872051）”，执行期2009－2011年 5. 国家自然科学基金面上项目“边界的有限变形运动对流场局部及全局空间动力学行为影响的研究（ No.11172069）”，执行期2012－2015年 6. 国家自然科学基金面上项目“几何形态为曲面的连续介质有限变形理论（方法与应用研究）（No. 11472082）”，执行期2015－2018年 获得：2013年度高等教育上海市级教学成果一等奖 “追求具有一流水平的微积分与连续介质力学基础知识体 系的教研与实践” 谢锡麟、麻伟巍、华诚、陈纪修 敬请批评、意见及建议 诚挚感谢