2012春季试题答案.pdf

复旦大学数学科学学院 2011～2012 学年第一学期期末考试试卷 □A 卷 高等数学 C（上） MATH120005 数学科学学院 医学试验班、八年制临床医学 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 得分 一、填充题（ 3  5 ） 1．设  sin x 是 f x 的一个原函数，则为  xf x dx = x 2 答案： 4  。 1 sin 6 x  xf  x  6  f x   0 lim  ，则 x 0 x 0 x3 x2 答案： 36 2．设 lim 1  0 3． A   0  0 0  1 6  0   答案：  0   0    0 0 2 0 0 0 0 0 2 3 0 0 0 1 2 0 0 0 0 1 3 0 0 1 3 1 2 1 6 1 3 0 0 0 0 0 0  0 1 0  ，则 A =  0 3     0  0   0   0  1 2  。 。 总分 4． lim n 2  3  n n 。 n 答案：3  5． x  cos x   1  sin x dx  2 。 2  2 答案：   2 二、单选题（ 3  5 ） 1． lim f x    是 f x 在 x 0 的某空心邻域内无界的（ x  x0 A．充分 B. 必要 ）条件。 C. 充分必要 D. 无关 答案：A f x  sin 2 x  2 ，则 lim （ x 0 x 0 f 3 x  x ） 。 2． lim A． 3 2 B. 2 C. 1 3 D. 4 3 3 答案：C  x1  x2  x3  0  3．设 A 为齐次线性方程组  x1  tx2  x3  0 的系数矩阵，若有三阶方阵 B  0 ，且 AB  0 ，则（ ） 。  x  x  tx  0 3  1 2 A. t  2, 且 B  0 B. t  2, 且 B  0 C. t  1, 且 B  0 D. t  1, 且 B  0 答案：C 4．下列积分中可直接用 Newton-Leibniz 公式计算积分的是（ ） 。 x3 dx A．  0 1 x2 D. 1 6 B.  1 x 1 x2 dx x 6 C.  x  6 0 2 dx 2 1  x ln x dx e 1 e 答案：A 5． x ，有 f  x   f x ，且 f  x0   k  0 ，则 f x0   （ ） 。 A． 1 B.  1 k k C.  k D. k 答案：C 三、计算题( 6  8 )  1  t  1  t dt  1． lim x 2 2 0 x 2 sin x x 0 答案： 2． 1 3 cos 2 x  sin x  cos x 1  cos xesin x dx  答案： ln  cos x C 1  e sin x cos x 3. 设 y  f x  由方程 xy  sin x  y  3 确定，求 dy 。 2 答案： 3 x 3 x y ln 3  y2  3 x 2 cos x 3 dx 2 xy  3 x dy  ，求 d sin 。 x 4． y  arctan 3e 答案： x 3e x (1  9e 2 x ) cos x 1, x  0  5. 设 f x    x  1,0  x  1 ，求  f x dx 。 2 x, x  1    x C  1 2 答案：  f ( x )dx   x  x  C 2  2 1  x  2  C x0 0 x1 x 1 6. 1  2x dx 1  2x 1 2 0  答案：  4   7． 1 2 dx  1  x  2 2 0 答案：  4  a  b 8. A   c   d  d   c  ，求 A 。  b  a  b c a d d a c b 答案： ( a  b  c  d ) 2 2 2 2 2 四、证明题（ 5  2 ） 1． 设 f x 在 0,1 区间上有一阶连续导数，且 f 1  f 0  1，证明： 证明：   f x dx  1。 1 2 0 [ f ( x )  1]2  0 ，即 [ f ( x )]2  2 f ( x )  1 1 1 0 0   [ f ( x )]2dx   [2 f ( x )  1] dx  2[ f (1)  f (0)]  1  1 ， 即证。 2． 设 f x 在 a, b 上存在，且 f a   f b ， r 为 f a 、 f b 之间的任意一个数值，则在 a, b  内存 在一点  ，使得 f    r 。 证明：设 F ( x )  f ( x )  rx ，由已知 F ( x ) 在[a, b] 上有最小值，设为 F ( ) ， F ( x ) f ( x) ， r f ( a )  r  f ( b ) ， F ( a )  0 ， F ( b )  0 . 又 F ( x )  F ( a )  F ( a )( x  a )  o( x  a ) 当 x  ( a, a   ) 时，对充分小的正数  ， F ( )  F ( x )  F ( a ) ，   a ； 同理可证：   b ，   ( a, b ) . 又 F ( x ) 在  可导，且 F ( ) 为 最值，由 Fermat 定理， F ( )  0 ，即证。 五、综合题 12 x2 y2 1． 设点 P 位椭圆   1 上一点， F1 ， F2 为椭圆的两个焦点，求 PF1  PF2 的最大值。 5 25 9 答案： Z max  25 kx1  x2  x3  5  2． 设 3x1  2 x 2  kx3  18  5k ，问 k 取何值，方程组无解，有唯一解，有无穷解？在有无穷解时，求 x  2x  2 3  2 出全部解。 7  答案：1）当 k  3 且 k  1 时，有唯一解； 2）当 k  3 时，无解；  1   3 3）当 k  1 时，有无穷多组解，其通解为 x    2    2    R .      1   0    