2019-2020年秋冬学期微积分期中模拟考试.pdf

2019-2020 学年秋冬学期微积分期中模拟考试 命题、组织：丹青学业指导中心 (本试卷版权属于丹青学指, 禁止任何形式的非授权售卖, 如有发现, 请向丹青学指举报) 考试时间：2019 年 10 月 26 日 模拟期中考考试须知: 欢迎大家参加由丹青学园学业指导中心举办的模拟期中考。下面是考试须知。 1. 请将除答题必备工具外的物品放到讲台上，电子设备关机或静音。 2. 请对号入座，并将身份证或校园卡放在桌面左上角。 3. 本场考试持续两个小时，开考后迟到二十分钟及以上不得参加本次考试，考试进行三十分钟后方能交卷离开。 4. 开考信号发出后方可开始答题，考试终了信息发出后，应立即停止答题，离开考场。 5. 遵守考场纪律。 一、求下列极限（每题 6 分）. (1) 2 1 lim (ex + ln(1 + x2 )) 1−cos x x→0 (2) lim n→∞ n ∑ √ ( 1+ i=1 i − 1) n2 二、求下列导数或微分（每题六分）. 1 (1) y = (1 + x2 ) x , 求 dy. (2) 定义双曲函数 sinh x = e −e 2 x −x , arcsinh x 为 sinh x 的反函数, 求 (arcsinh x)′ . 三、证明： x (1)x ⩾ 0 时, x+1 ⩽ ln(1 + x) ⩽ x. (4 分) (2) an = n ∑ 1 k=1 k , 证明 {an } 发散. (4 分) 四、 √ (1) f (x) = sin x, 证明 f (x) 在 [1, +∞) 上连续. (5 分)  f (x)m x > 0 (2) 令 g(x) = mx , 问是否存在 m ∈ R, 使 g(x) 为连续函数. (5 分) 1 x ⩽ 0 3 1 2 五、f 在 [−1, 1] 上可导, 且 |f (x)| ⩽ |sin x|, 求证 |f ′ (0)| ⩽ 1. (6 分) 六、y = arcsin x, 求 y (n) (0). (8 分) 七、g(x) 满足 g(0) = g ′ (0) = 0, g ′′ (0) = 3, 令 f (x) =   g(x) x ̸= 0 0 x=0 x 试求 f ′ (0). (7 分) 八、f 在 [0, 1] 上可导, 且 lim f (x) = A, lim f ′ (x) = B, x→+∞ x→+∞ 求证 B = 0. (7 分) 九、a < b 且 ab > 0, f 在 [a, b] 上连续, 在 (a, b) 内可导, 求证 ∃ξ ∈ (a, b), 使得 f (a) f (b) f (ξ) f ′ (ξ) a b = (b − a) . (7 分) (提示: = ad − bc) a b ξ 1 c d 十、 (1)f 在 [0, 1] 上连续, 求证: 若 f (0) = f (1), 则 ∀n ∈ N+ , ∃x ∈ [0, 1] 使得 f (x + n1 ) = f (x). (5 分) (2)f 和 g 在 [a, b] 上连续, f 单调, 且有数列 {xn } ⊂ [a, b] 使得 g(xn ) = f (xn+1 ), ∀n ∈ N+ , 证明: ∃x0 ∈ [a, b], f (x0 ) = g(x0 ). (6 分) n , 十一、对 Fibonacci 数列 {Fn }(F0 = 1, F1 = 1, Fn+2 = Fn+1 + Fn (n ⩾ 1)), 令 Gn = FFn+1 求证 {Gn } 收敛, 并求 lim Gn . (12 分) n→∞ (提示: 先证明 Fn+1 Fn − Fn+2 Fn−1 = Fn2 − Fn+1 Fn−1 = (−1)n ) 因为时间和人力原因我们不能统一批改试卷，大家答题完毕后可把试卷带出考场。试卷分析将在之后发布在丹青学指的官方 QQ 和 B 站账号上，请扫描下方二维码获取。 3 答题纸: 4 答题纸: 5 答题纸: 6 演算纸: 7 演算纸: