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第三节 能量量子化、声子 学习内容: 3.3.1 能量量子化 3.3.2 声子 晶格 振动 格波 简谐 近似 独立的振 动模式 晶格振动能 量量子化 声子 由B--K q分 边界条件 立值 §3.3 能量量子化 声子 3.3.1 能量量子化 一维单原子链的情况 x n ( q , t ) A e q2 2 q1 1 i t n a q q3 3 xn x n ( q ,t ) A q ( t ) e in aq 由玻恩-卡门周期性边界条件：q可以取N个值。 x n ( t ) A q ( t ) e i n aq q 根据经典力学，系统的总能量为势能U和动能T之和。 2 1 H T U m xn ( xn xn 1 ) 2 n 2 n 2 . 1 i n aq Q ( t )e , q Nm q 令 xn (t ) . m x n 2 n 则： T 1 U 2 . 1 Qq 2 q (x x ) 2 n 2 n 1 n Q q ( t ) Qq* ( t ) 1 2 2 1 2 q Qq , 2 q e N n ina(q q ) 0 q ,q 1 q q' q q' xn (t ) 1 i n aq Q ( t )e , q Nm q (1)证明： Q q (t ) Q*q (t ) xn (t ) 1 i n aq Q ( t )e , q Nm q * n x (t ) 1 * i n aq Q ( t )e , q Nm q xn (t ) 1 i n aq Q ( t )e , q Nm q * Xn(t)是实数，x n ( t ) x n (t ) Q q ( t ) Qq* ( t ) (2)证明： 0 1 ina(q q ) e q ,q N n 1 若 q q , s , s , l 均为整数。 2π q s Na 2π q s Na q q' q q' 2π 2π q q ( s s ) lh Na Na 1 1 N 1 inah 1 N 1 iah n 1 1 e iNah ina ( q q ) e e (e ) N n N n0 N n0 N 1 e iah iNa 2π l Na 1 1e 0 2π ia l N Na 1e q q , 1 ina ( q q ) e 1 N n 1 . T m x n 2 n 2 . x n (t ) . 1 i n aq Q ( t )e , q Nm q . . 1 i n aq i n aq T Q ( t )e Q ( t )e , q q 2 N n q q . . 1 1 i n a( q q ) Q q ( t ) Q q ( t ) e , 2 q q N n . . 1 Q q ( t ) Q q ( t ) q , q , 2 q q . . 1 Q q (t ) Q q (t ) 2 q Q q ( t ) Qq* ( t ) 2 . * . . 1 1 Q ( t ) Q ( t ) Qq q q 2 q 2 q ( x n 1 x n ) 2 U 2 n Q ( t )e 2 Nm Q ( t )e Q ( t )e q q n i ( n 1 ) aq i ( n 1 ) aq q q Q q ( t )e i naq i naq q Q ( t )Q ( t ) 2m q q q q 1 i ( n 1 ) aq i naq e e N n e i ( n 1 ) aq e i naq Q ( t )Q ( t ) 2m q q q q e i ( n 1 )a ( q q ) e i na( q q ) 1 i aq i na( q q ) i aq i na( q q ) N n e e e e Q ( t )Q ( t ) 2m q q q q e i ( n 1 ) a ( q q ) e i na( q q ) 1 i aq i na( q q ) i aq i na( q q ) N n e e e e i aq i aq Q ( t ) Q ( t ) 1 1 e e q , q q q 2 m q q i aq i aq Q ( t ) Q ( t ) 1 1 e e q q 2m q Q q ( t )Q q ( t )2 2 cos aq 2m q 1 4 2 1 * 2 aq 2 Q q ( t )Q q ( t ) sin q Qq , 2 q 2 q m 2 拉格朗日函数：L T U 广义动量：Pq L . 2 . 2 1 2 Q Q q q q 2 q . Qq Qq 2 . 2 1 2 哈密顿函数：H Pq Q q L Q q q Q q 2 q q . H 又： P q Qq . .. Q q q2 Qq 0 q2 Qq .. Qq 谐振子的振动方程 m k o x X f ma k x x 0 m .. .. kx m x .. x 2 x 0 由N个原子组成的一维单原子链的振动等价于N个谐振子 的振动，谐振子的振动频率就是晶格振动频率。 据量子力学，频率为i的谐振子的振动能： 1 E ( i ) ( n i ) i 2 N 1 晶格振动能量：E n i i 2 i 1 三维晶格振动的总能量为： 3 nN 1 E n i i 2 i 1 其中N为晶体中的原胞个数,n为每个原胞中的原子个数。 晶格振动的能量是量子化的，能量单位为 。 格波(晶格振动)的能量量子------声子。 3.3.2 声子 1.声子是晶格振动的能量量子，其能量为 。 q ，“准动量”为 声子不是真实的粒子，称为“准粒子”，它反映的是晶格原子 集体运动状态的激发单元。声子只存在于晶体中，脱离晶体后 就没有意义了。 2.一个格波(一种振动模式)，称为一种声子(一个，q就是一 1 种声子)，当这种振动模式处于 n i i 本征态时，称为有ni 2 个声子，ni为这种声子的声子数。 3.由于晶体中可以激发任意个相同的声子，所以声子是玻 色型的准粒子，遵循玻色统计。 1 ni e i k BT 1 4.当电子(或光子)与晶格振动相互作用时，交换能量以 为单位，若电子从晶格获得 能量，称为吸收一个声子，若 电子给晶格 能量，称为发射一个声子。 在简谐近似下，声子是理想的玻色气体，声子间无相互 作用。而非简谐作用可以引入声子间的相互碰撞，正是这种 非简谐作用保证了声子气体能够达到热平衡状态。 例题 一维复式格子中，如果 m 5 1.67 10 －27 kg M 4 15 N / m m 计算 o o 1) 光学波频率的最大值 max 和最小值 min ，声学波频率 A 的最大值 max ； 2) 相应声子的能量 E O max , E O 和 min E A max ； 3) 在T=300下，三种声子数目各为多少？ 4) 如果用电磁波激发光学波，要激发的声子所用的电磁波 波长在什么波段？ 1) 声学波的最大频率 M 4 m 15 N / m A m ax 3 10 14 ra d / s 光学波的最大频率 O max 光学波的最小频率 O min mM m M 0.2M 2 14 5 6.7 10 rad / s M 2 6 1014 rad / s m 2）相应声子的能量 E mA ax 0 . 198 eV E O m ax 0 . 442 eV E O m in 0 .3 9 6 e V 3) 某一特定谐振子具有激发能 的几率 Pn Ce 根据归一化条件 归一化常数 Pn e n / k BT e n n / k BT n / k BT n Pn n Ce C Pn n / k BT 1 n e e n / k BT n / k B T e n n / k B T 1 e n / k B T Pn n / k B T e Pn e n / k BT (1 e / k BT n 频率为谐振子的平均能量 P n n n 1 1 ( / k BT ) e 1 2 1 频率为谐振子的能量 [ n i ( q ) ] i ( q ) 2 1 玻色统计 第i个q态的平均数声子 n i ( q ) i / k B T e 1 ) 光学波频率的声子数目 ( O m ax ) 4 .1 4 1 0 n O m in ( O m in ) 2 .4 2 1 0 n A m ax ( A m ax n E mO in 0 . 3 9 6 e V O m ax -8 -7 声学波频率的声子数目 E A m ax 0 . 198 eV ) 4 .9 3 1 0 -4 4）如果用电磁波激发光学波，要激发 波波长在什么波段？ 的声子所用的电磁 对应电磁波的能量和波长 E mO ax 0 . 442 eV 2 .8 m —— 要激发的声子所用的电磁波波长在近红外线波段 （Near Infrared）(NIR) §3.4 离子晶体的长光学波 声学波中，相邻原子都沿同一方向振动 光学波中，原胞中不同的原子相对地作振动 波长 —— 原胞的线度 长波近似 —— 波长很长的光学波：长光学波 —— 波长很长的声学波：长声学波 —— 长声学波代表原胞质心的振动 —— 长光学波表示原胞中相邻原子做反位相振动 —— 正负离子组成的晶体，长光学波使晶格出现宏观极化 —— 长波极限下，晶格格波可以看作是弹性波 —— 晶格可以看成是连续介质 连续媒质中弹性波的波动方程： 2 d ( r ,t ) K( r ,t ) 2 dt 其中 2 2 2 2 2 x y z 2 为拉普拉斯算符 i( q r t ) 方程解的形式： ( r ,t ) Ae q 为波矢量，方向为波的传播方向； 为波的角频率或圆频率. 色散关系： K | q | 1. 长光学波的宏观方程 —— 两种正负离子组成的复式格子 —— 半波长内，正离子 组成的布拉伐原胞同向 位移，负离子组成的布 拉伐原胞反向位移 —— 使晶体中出现宏观 的极化 —— 长光学波 — 极化波 M and M 原胞中的两个正负离子质量 两个正负离子的位移 描述长光学波运动的宏观量 —— 原胞体积 黄昆方程 and W ( M 1 2 ) ( ) M M M M M W b11W b12E P b21W b22E b21 b12 P and E —— 宏观极化强度和宏观电场强度 —— 离子相对运动的动力学方程 —— 正负离子相对运动位移产生的极 化和宏观电场产生的附加极化 1) 静电场下晶体的介电极化 恒定电场下 W 0 b12 W E b11 b P ( b22 )E b11 2 12 因为 0E P ( 0) 0E 和 2 12 P [ ( 0) 1] 0E 2 12 b 比较 [ ( 0 ) 1] 0 b22 b11 b P ( b22 )E b11 2) 高频电场下晶体的介电极化 电场的频率远远高于晶格振动的频率 P b21W b22E P [ ( ) 1] 0E W 0 P b22E [ ( ) 1] 0 b 22 在长光学波下有 b11 02 —— 横长光学波的频率 W b11W b12E P b21W b22E 2. Lyddane-Sachs-Teller（LST）关系 2 T0 2 L0 0 光频介电常量 静电介电常量 ( 1) ( 0) ( ), Lo To (2)铁电软模(光学软模) 有些晶体在某种温度下，( 0) 2 T0 2 L0 0 1/ 2 TO 0, 0 恢复力消失，发生位移的离子回不到原来平衡位置，即晶体结 构发生了改变。在这一新结构中，正负离子存在固定的位移偶 极矩，产生了所谓的自发极化。 0 相当于弹簧振子系统中的弹簧丧失了弹性，即弹簧 变软。称 TO 0 的振动模式为铁电软模(或光学软模)。 3.极化声子和电磁声子 —— 晶体中存在长光学纵波(LO)和长光学横波(TO) 因为长光学波是极化波，且只有长光学纵波才伴随着宏观 的极化电场，所以长光学纵波声子称为极化声子。 长光学横波与电磁场相耦合，它具有电磁性质，称长光学横 波声子为电磁声子。 §3.5 晶格振动谱的实验方法 晶格振动的频率与波矢 q 之间的关系 (q )称为格波的色 散关系，也称为晶格振动谱。 实验方法主要有中子的非弹性散射、X射线和光的散射。 3.5.1 中子的非弹性散射 1.原理 中子与晶体 的相互作用 中子吸收或发射声子 非弹性散射 中子与晶体中声 子的相互作用 散射过程满足能量守恒和准动量守恒。 入射中子流： 动量为 p 能量为 E P2 2Mn 为中子质量 从晶体中出射的中子流： 2 P 动量为 p 能量为 E 2M n 由能量守恒和准动量守恒得： P' 2 P2 ( q ) 2M n 2M n “+”表示吸收一个声子 P' P q K h “-”表示发射一个声子 固定入射中子流的动量 p，E P2 ； 2Mn 2 P 测出不同散射方向上的动量 p ，E 2M n (q ) 2.仪器 布拉格反射产生单色 的动量为P的中子 单色器 2 中子源 反应堆中产生 的慢中子流 准 直 器 准直器 分析器 样品 探测器 中子谱仪结构示意图 布拉格反射产生单 色的动量为P的中子 美国橡树岭国家实验室ORNL （Oak Ridge National Laboratory） 散裂中子源SNS（Spallation Neutron Source）是以加速器为基 础的中子源 33 3.5.2 光的散射和X-射线散射 1.光的散射 光子与晶体 的相互作用 光子吸收或发射声子 非弹性散射 光子与晶体中声 子的相互作用 散射过程满足能量守恒和准动量守恒。 “+”表示吸收一个声子 Ω Ω k k q K h “-”表示发射一个声子 Ω Ω k k q K h k和代表入射光的波矢和能量， k 和 Ω代表出射光的波矢和能量。 可见光范围，波矢为105cm-1的量级，故相互作用的声子的 波矢也在105cm-1的量级，只是布里渊区中心附近很小一部分区 域内的声子，即长波声子。 (1)布里渊散射：光子与长声学波声子的相互作用； (2)拉曼散射：光子与光学波声子的相互作用； (3)斯托克斯散射：散射频率低于入射频率的散射； (4)反斯托克斯散射：散射频率高于入射频率的散射。 2.X-射线散射 X光光子能量---104eV 声子能量---102eV 能量变化很少，不易测量。