复旦大学第十三章 柱坐标下的分离变量法Bessel函数.pdf

Methods of Mathematical Physics (2016.12) Chapter 13 Separation of variables in cylindrical coordinates and Bessel functions YLMa@Phys.FDU Chapter 13 柱坐标下的分离变量法 Bessel 函数 Abstracts 以 3+1D 实例通过柱坐标系下方程的变量分离与求解,引入各种柱函数 （Bessel 函数、Norimann 函数、Hankel 函数、虚宗量 Bessel 函数、 Macdonald 函数和三类球 Bessel 函数等 12 个 Bessel 函数）。在分析 这些函数性质的基础上，表述相应定解问题的物理解。 一、柱坐标下的变量分离 1. 柱坐标系下的稳定问题（3+0D，Laplace 方程） 1   u  1  2u  2u  u     0,       2  2 z 2 2 即：  u  2 （1） 1  u   u  u  0.    1   2  （2） zz 只要实空间可分离变量，就可令 u(,, z)  R( )()Z ( z) ，将其代入方程（2）得： Z     R   RZ 2 （3）   RZ   0. 2    R  '  2 Z    (3) 得：    . RZ R Z  （4）     0.     R  '  2 Z    .   R Z 由这种分离变量得：  (5) (6) 方程（5）与周期性边界条件 (0)  (2 ), (0)  (2 ) 构成本征值问题。解得： m  m2 (m  0,1, 2,3, ),  m ( )  {cos m ,sin m}. 方程（6）即为    R  ' R 得：   2 Z  Z m 分离变量 2    R '  m2   Z    . R 2 Z   Z    Z  0.  2 2 2      R   R     m  R  0. 这两个方程，先求解哪一个以及  如何取值，取决于哪一个可构成本征值问题， 也就是取决于定解问题的边界条件。假设（如果） R (  ) 构成本征值问题，则  2 R   R    2  m2  R  0, 1 Methods of Mathematical Physics (2016.12) Chapter 13 Separation of variables in cylindrical coordinates and Bessel functions YLMa@Phys.FDU 式中  的取值范围不同，方程解的形式与性质不同。 1)   0 :  2 R   R  m2 R  0, 即为 Euler eq. 2)   0:  2 R   R         m2  R  0. 2  （7）   dR dy ( x) dx  R  d  dx  d   y,     x  记：  则：  dy dx  R(  )  y ( x)  R  dR  d  y     y,  d d dx d   代入（7）得（  的量纲为 1/  2 , 这里将径向变量无量纲化了，相当于取   1 ） x 2 y  xy   x 2  m2  y  0, 即为 m 阶 Bessel eq. 3)   0: 令   k 2 ，代入  2 R  R   2  m2 R  0 得  2 R   R   k 2  2  m2  R  0. （8） 记 k   x, R( )  y( x) ，代入（8）得： x 2 y  xy   x 2  m2  y  0, 即为虚宗量 Bessel eq. （9） 令： ix  t, y( x)   (t ) 代入（9）得 t 2   t    t 2  m2    0, 即为 Bessel eq. 我们假设 R (  ) 构成了 S-L 型本征值问题，即径向有自然、周期或齐次边界 条件，从而   n , R  Rn . 再解出 Z  Z n ( z ), 得 u(  , , z)   nm Anm Rn (  )Z n ( z )eim . 2. 柱坐标系下的非稳定问题（3+1D，振动、输运方程） 2 2  utt (r , t )  a  u (r , t )  0;  2 2  ut (r , t )  a  u (r , t )  0. 只要时空可分离变量，就可令 u(,, z, t )  T (t )V (,, z) ，将其代入上式得：  T   2V 2  a 2T  V   k ;  2  T    V  k 2 .  a 2T V 2 Methods of Mathematical Physics (2016.12) Chapter 13 Separation of variables in cylindrical coordinates and Bessel functions YLMa@Phys.FDU 注意两个方程及其 a 的物理意义不同。分离变量得： 2 2  the 1st eq. is the wave eq.,it is damping if Imk 2  0. T   a k T  0 (容易求解)  2 2  T  a k T  0  the 2nd eq. is also the wave eq.in Qu.Mech.due to i t .  2V  k 2V  0, 和 此为 Helmholtz 方程，即： 1 V   V  V  k V  0.    1   2  2 zz 只要实空间可分离变量，就可令 V (,, z)  R( )()Z ( z) ，将其代入上式得：   m 2  0.   Z    Z  0.  2 2 2 2   R   R   k      m  R  0. 同样要求对 k 2   的符号 () 加以讨论（下面的第二节为正，第三节为负—源于 Z ( z) 的本征值问题）。 二、Bessel 函数 [(圆)柱函数] 1. Bessel 函数 设  k 2    x, R(  )  y ( x), 则一般地 [如果 ( ) 中没有周期条件，则  可以不为整数]   解 x 2 y  xy  x 2  2 y  0  y ( x)  AJ ( x)  BN ( x) ，  2k 1   x 其中： J ( x)   ，   k  0 k !    k  1  2   k J ( x) cos  J  ( x) N ( x)   (  integer, see chapt. 8) ， sin  J ( x) cos  J  ( x) Nn ( x)  lim  (  n integer，see chapt. 8, p.16).  n sin J ( x) :  阶（第一类）Bessel 函数; N ( x) :  阶（第二类）Bessel 函数. 3 Methods of Mathematical Physics (2016.12) Chapter 13 Separation of variables in cylindrical coordinates and Bessel functions YLMa@Phys.FDU   整数，J ( x)和J  ( x)线性无关解;   m  整数，J m ( x)和N m ( x)线性无关解, N m ( x) : Norimann 函数。 当 x = k 2   是实数时， J ( x) 和 N ( x) 都是实函数，现在再引入两个复函数。 H(1) ( x)  J ( x)  iN ( x) ,第一种 Hankel 函数; H(2) ( x)  J ( x)  iN ( x) ,第二种 Hankel 函数, 它们统称为 阶（第三类）Bessel 函数，于是 Bessel 方程的解可以是以上四种 函数中任何两个的线性组合。 这个类似于 (1).cos x,(2). sin x, (3).cos x  i sin x  eix , (4).cos x  i sin x  eix 都是 方程 y( x)  y( x)  0 的特解；或方程 y( x)  y( x)  0 的特解有 (1).cosh x,(2). sinh x, (3).cosh x  sinh x  e x , (4).cosh x  sinh x  e x ，其通解可以用以上四个函数中任何 两个线性组合表示 [方程 y( x)  y( x)  0 的通解是这四个函数的线性组合]。 2. 各种柱函数的递推公式与渐近性质 （1）递推公式  x Z  '  x Z 1 , Cal. Z   Z  Z 1 , (  ) 2Z  Z 1  Z 1 ,    x       2   Z  Z 1  Z 1. x Z '   x Z .        1 Z  Z   Z 1.    x  x Z 代表 J , N , H(1) , H(2) .  2k 1   x 证明：例如， J ( x)   ，   k  0 k !   k  1  2  k def.   1 (2  2k ) x 2  2 k 1 1   x 1 2 k   x J  '   k !   k  1 2 2k  x  k !   1  k  1 2 12k  x J 1 , k 0 k 0  k cal.  k 即：  x Z  '  x Z 1. 同理又有：  x  Z  '   x  Z 1 . 特例： J'0  J1   J1   d   1  J 0 ( x) , (J 0 (0)  1 见下,其实是定义). x 0 x Z   x Z     1 J   d  x 1J 1 ( x) .  1    x 0 4 Methods of Mathematical Physics (2016.12) Chapter 13 Separation of variables in cylindrical coordinates and Bessel functions YLMa@Phys.FDU （2）渐近行为(定性分析) (A). x 很小 ( x  0) 时， 2  x J 0 ( x) ~ 1    ; k  2k  1  2   x  J ( x)      k  0 k !   k  1  2  1 x  J ( x) ~ (  1)  2  (  0).  2 x 1 m 1 ( m  n  1)!  x   N m ( x)   ln  C  J m ( x)      2  n 0 n!  2 (1) n  m  1   1   n  m (n  m)!n !  2 1   m2n 1   1    1   nm  2 1   x      n   2   m2n  n 1  其中， C  lim    ln n   0.5772157  称为欧拉（Euler）常数. n  k 1 k  2 x  N ( x ) ~ ln ; 0   2     N ( x) ~  ( )  x  (  0).     2  i2 x  (1) H ( x ) ~ ln ; 0   2    H (1) ( x) ~ i ( )  x  (  0).     2  i2 x  (2) H 0 ( x) ~   ln 2 ;    H (2) ( x) ~ i ( )  x  (  0).     2  2 x J 0 ( x) ~ 1     J 0 (0)  1 (上述特例积分时用过此). 2  1 x J ( x) ~   (  1)  2  (  0)  J (0)  0 (  0) . 可见 x  0 并非 J 0 ( x) 之零点，而是 J (0) 之 阶零点 (  0) . 2 x  N ( x ) ~ ln ; 0   2   N (0)   (  0,  0).    (  ) x    N ( x) ~  (  0)     2  5 Methods of Mathematical Physics (2016.12) Chapter 13 Separation of variables in cylindrical coordinates and Bessel functions YLMa@Phys.FDU (  0,  0). H(1)(2) (0)   (B). x 很大 ( x  ) 时 [衰减式震荡函数，证明见教材§13.5] 2 2         cos  x  sin  x    . N ( x) ~  . x x 2 4 2 4   J ( x) ~         2 i x  2  4  H ( x) ~ e . x 2 i x  2  4  H ( x) ~ e . x (2) (1) 3. Bessel 函数 J n ( x) 的基本性质（这里仅仅讨论整数阶 Bessel 函数） （1）生成函数（母函数，复习） e x 1   z  2 z     J n ( x) z n (0  z  ). n   ix sin    J n ( x)ein . 特别地，令 z  e ，有 e i n   x z  1  x l l e 2     z ,  l 0 l !  2  证明：  x 则： k k  1  z  1    x  z k ,  2    e k!  2  k 0  e  x z  z 1 2  x z 2  e e  x  z 1 2    l 0 k 0     k 0 l k    1  x l  k z l k k   l !k !  2   1  x l  k z l k   k  1 x     k  0 n  0 k !( k  n )!  2     1  x l  k z l k k   l !k !  2    l !k !  2  k  l  0 k  l 1 n2k    1 l n  x z    l  0 n 1 l !(l  n)!  2  n   n  2l zn    J n ( x) z   (1) J  n ( x) z   J n ( x) z   ( 1)  n ( 1)  n J n ( x) z n n n 0 n 1 n n n n 0 n 1    J n ( x) z n . n  （2）平面波按柱面波的展开（匹配、归化、一统描述） 6 Methods of Mathematical Physics (2016.12) Chapter 13 Separation of variables in cylindrical coordinates and Bessel functions YLMa@Phys.FDU eikz  eik  cos t  iei  e x 1 (t  ) 2 t xk     J m ( x)t m m    J 0 ( x)  2 J m ( k  )i m cos( m ). m 1 这里已用到了 J  m ( x)  () m J m ( x) 和 i meim  (i) m eim  2i m cos(m ).  （3）加法公式 J n ( x  y)   J k ( x)J nk ( y). k  证明： e  x y z  z 1 2     J n ( x  y )z n , 又 n  e  x y z  z 1 2  e  x z  z 1 2  e  y z  z 1 2    n  l      J n  x  z n  J l  y  z l    J n  x  J l  y  z n l . n  l  令 k  n  l ，则 e  x y z  z 1 2         J n  x  J k n  y  z    J k  x  J nk  y  z n . k n  k  n  k   所以, 比较两者得 J n ( x  y)   J k ( x)J nk ( y). k  （4）积分公式 由e ix sin     J n ( x)ein 得展开系数为 n  1  ix sin in 1  ix sin in e e d   e d 2  2  1  1   cos x sin   n  d   cos  n  x sin   d   2  2  J n ( x)   i  = 2 n   e  ix cos  in i n  ix cos in d  e d . 2  第二行推导用了奇函数在其周期内的积分为零；第三行是第一行的      / 2. （5） J ( x) 的零点[方程 J ( x)  0 的根] (A). J ( x) 的零点有无限多个，且 x  0 的零点都是一级零点 xn( ) (n  1, 2,3, ) : 7 Methods of Mathematical Physics (2016.12) Chapter 13 Separation of variables in cylindrical coordinates and Bessel functions YLMa@Phys.FDU J ( x) ~ 2     cos  x    (x x 2 4  1). x  0 为 J ( x) （  0 ）的 级零点:  1 x J ( x) ~   (  1)  2  (  0) . (B). J ( x) 的零点必正负成对：这是因为 J ( x) 具有奇（偶）对称性，即 J (  x)  ( 1) J ( x) ，因此可以只讨论正零点。 (C). 阶数相差为 1 [ J ( x) 与 J 1 ( x) 或 J 1 ( x) ]时，正零点必两两相间。 证明思路：设 a , b 为 J ( x) 的相邻零点，作辅助函数 y  x J ( x ) ，根据微分中 值定理, 当 y(a)  y(b)  0 时, 必有 a  c  b, 使得 y(c)  0. 再由递推公式 ( x Z ) '  x Z 1 可以知道， J ( x) 的零点之间有 J 1 ( x) 的零点。 (D). J 1 ( x) 的最小正零点必大于 J ( x) 的最小正零点 (  0, x  0 除外）。 证明思路：已知 x  0 为 J 1 ( x) 的 n  1级零点。设 a 为 J 1 ( x) 的最小正零点， 作辅助函数 y  x 1J 1 ( x), 由 y(0)  y(a)  0, 必有 y '(c)  0, 而取 c 在 0  c  a, 再由 ( x Z ) '  x Z 1 可知, c 必为 J ( x) 的零点。 注 1：J m ( x ) 的零点的具体数值可以从专门的 Bessel 函数表查到，故当需要 J m ( x ) 的零点时，可以当作已知. 注 2：记 J m ( x ) 的正零点即 J m ( x)  0 的根为 xn( m ) (n  1, 2, ). 注 3： J'm ( x)  0 ，i.e，导数为零的点 xn( m )  0(n  1, 2, ) ，均为 J'm ( x) 之一阶零点。 注 4： 因为 J'0 ( x)  J1 ( x), 所以 xn(0) =xn(1) (n  1, 2, ), 即 J 0 ( x) 的极值点正是 J1 ( x) 的零点。 （6） J m ( x ) 的图像（衰减式震荡函数） Mathematics： 8 Methods of Mathematical Physics (2016.12) Chapter 13 Separation of variables in cylindrical coordinates and Bessel functions YLMa@Phys.FDU J0=Plot[BesselJ[0,x],{x,0,12}];J1=Plot[BesselJ[1,x],{x,0,12}]; J2=Plot[BesselJ[2,x],{x,0,12}];J3=Plot[BesselJ[3,x],{x,0,12}]; Show[J0,J1,J2,J3] 4. 本征值问题 （1）方程 柱坐标系下 Laplace 方程经变量分离后，它的径向函数满足  2 R(  )   R(  )    2  m2  R(  )  0, 其标准形式为 d  dR(  )  m 2   R(  )   R(  )  0, d  d   其中 m 是已知常数（由  的本征值问题确定），即 m  0,1, 2, , 参数   0 待定（对 于另外一类物理问题，   0 ，见下节）。此方程是下列 Sturm-Liouville 方程 d  k ( x) y( x)  q( x) y( x)   ( x) y( x)  0  a  x  b  dx 的特例，其中 k (  )  . 因而对于某些自然条件、边界条件就构成本征值问题了。 （2）边界条件 设  的变化区间是 0    b （即物理问题是在半径为 a 的圆柱体内），上面 的方程如果要构成本征值问题，则需附加如下边界条件之一： 1). k (  )  0  0 : R  0 有界 ； 2). k (  )  b  0 : 齐次边界条件： R | b  0 或 R ' | b  0 或 ( R '  R) | b  0. （3）解方程  2 R(  )  R(  )   2  m 2 R(  )  0 9 Methods of Mathematical Physics (2016.12) Chapter 13 Separation of variables in cylindrical coordinates and Bessel functions YLMa@Phys.FDU 设   0, 记   x, R(  )  y( x) ，代入上式得： x 2 y  xy   x 2  m2  y  0. 这是 m 阶 Bessel 方程，其解为： y( x)  C1J m ( x)  C2 N m ( x), 或者 R(  )  C1J m (  )  C2 Nm (  ). a ). R  0 有界:要求 C2  0 ，解为 R(  )  C1J m (  ). b). 对于第一类齐次边界条件 R  b  0 : R (  )  b  C1J m (  b)  0  J m ( b)  0 ， J m ( x ) 的正零点记为 x (m) n ，则： b  x ( m) n 本征值，R(  )  Rn (  )  J m ( xn( m)  b (n  1, 2, )     (m) n  xn( m )     b  2 即为 ) 为本征函数，n 为量子数。特别地，当 m  0 时， 2 (0) 0 J0 ( x  0)  1 ，矛盾于本征值方程 J0 (  b)  J0 ( x )=0, 所以  (0) 0 (0) n  xn(0)    >0.  b  c). 对于第二类齐次边界条件 R  b  0 : R(  )  b  C1  J'm (  b)  0  J'm (  b)  0 ， J'm ( x) 的正零点记为 xn( m ) ，则： b  x (n  1, 2, ) ，    ( m) n (m) n  xn( m )     b  2 ， R(  )  Rn (  )  J m ( xn( m)  b ). 特别地，当 m  0 时，x0(0)   b  0 也是它的本征值，相应的本征函数为 R( )  1. d ). 对于第三类齐次边界条件  R   R   b  0 ，可以进行相似的讨论（思考题）。 （4）正交性 b  J (x 0 ( m) n m b  J (x 0 m ( m) n  b  b )J m ( xn( m ) )J m ( xn( m )  b  b )  d  0 (n  n)  R  b  0. )  d  0 (n  n)  R  b  0. 注意：当 m  0 时，x0(0)   b  0 不是 J 0 ( x0(0) J '0 ( x0(0)  b )  0 的本征值, 本征函数为 J 0 ( x0(0)  b  b )  1 的本征值, 而 x0(0)   b  0 是 )  1. （5）模方 10 Methods of Mathematical Physics (2016.12) Chapter 13 Separation of variables in cylindrical coordinates and Bessel functions YLMa@Phys.FDU (m) n Jm (x     )    J m ( xn( m ) )   d 0 b b   2 2 a 2  b  xn( m ) 2   ( m )    J m ( x)  xdx 0  xn  2 xn  xn( m )  b   1 2 2   ( m )   x  J m ( x)   x 2 J m ( x)J'm ( x)dx  0 0  xn   2  (m) 2  b  xn( m ) 2    ( m )   x J m ( x)J'm ( x)dx, 0  xn  其中第三步用到了分部积分。由于方程本身满足 x 2 y  xy   x 2  m2  y  0, 即 x 2 J''m ( x)  xJ'm ( x)   x 2  m 2  J m ( x)  0  x 2 J''m J'm  x  J'm    x 2  m 2  J m J'm  0, 2 所以被积函数 1 2 ' x 2 J m J'm  m2 J m J'm   x 2  J'm   .  2 如果 J m ( xn( m ) )  0, 并且  x  Z  '   x  Z 1 , 则  xn( m ) 0 x( m ) x( m ) n n 2 1 2 2 1 1 ( m) 2 ( m)   x J m J'm dx  m J m ( x)   xJ'm ( x)     xn J'm ( xn )  . 2 2 2 0 0 2 这是 m  0 : J 0 (0)  1, m  0 : J m (0)  0, mJ m (0)  0( m  0,1, 2, ). 又 Jm J'm mJ m RR J m1 ( m ) '  m  m1  m . 当J m ( x)  0时，J 'm  J m1. x x x x 故  xn( m ) 0 (m) n Jm ( x 2 1 x 2 J m J'mdx    xn( m) J m1 ( xn( m) )  , 2 2  b  xn( m ) 1 )    ( m )   x 2 J m ( x)J'm ( x)dx  b 2 J m2 1 ( xn( m ) )  . 0 b 2  xn   2 相似地，在第二类边界条件下 J'm ( xn( m ) )  0 （自证）： (m) n Jm (x 2 1 2   m   2 (m) )  b 1   ( m )   J m ( xn ). b 2   xn      2 （6） 广义 Fourier 级数 11 Methods of Mathematical Physics (2016.12) Chapter 13 Separation of variables in cylindrical coordinates and Bessel functions YLMa@Phys.FDU 对于区间 0    b 上满足一定条件的任何函数 f ( ) [但是有条件:分段光 b    滑；积分  | f (  ) |  d 存在] ，总是可以展开为 J m ( xn( m) )  的广义 Fourier 级数： 0 b     f (  )   Cn J m  xn( m)  ， b  n 1  其中 Cn  b 2  (m)    (m)   f (  )J x  d   f (  )J m n m    xn   d .  2 2 ( m ) 0 0 b b b J x       m 1  n  J m  xn( m )  b  1 b 2    如果将 f ( ) 展为本征函数族 J m ( xn( m) )  的广义 Fourier 级数，当 m  0 时 b      f (  )   Cn J m  xn( m)  ， b  n 1 Cn  b 2   ( m)    f (  )J x  d   f (  )J m  xn( m )   d . m n  2 0  2 0 b b   m       2 2 ( m) J m  xn( m )  b 1   ( m )   J m  xn  b    xn   1 b 当 m  0 时，则为    f (  )  C0   Cn J 0  xn(0)  , b  n 1 其中 C0  Cn  2 b f (  )  d (源于 x0(0)  0 )[其实 C0 是下述 Cn 的特例,并且 J 0 (0)  1 ], 2 0 b 1 b b 2  (0)    (0)   n   d  2 2 (0) 0 f (  )J 0  xn   d . b b b J 0  xn   f (  )J  x     J 0  xn(0)  b  2 0 0 对于第三类齐次边界条件的本征值问题，可以进行类似地讨论（思考题）。 In Qu. Mech., P  i , E  it . 对称性与守恒律：空间平移不变性  动量守恒；空间转动不变性  角动量 守恒；时间平移不变性  能量守恒。一般稳态问题，D  1 维空间有 D 个守恒量。 12 Methods of Mathematical Physics (2016.12) Chapter 13 Separation of variables in cylindrical coordinates and Bessel functions YLMa@Phys.FDU ˆ   uin   ˆ  uout (   b), uin (0,  )  0, uout (,  )   E0  cos . 习题 12.4：E    uin (b,  )  uout (b,  )  2 E0b cos  / (1   ). 例 1: 半径为 b 的无限长导热介质圆柱，其侧面保持为零度，设初始温度为 u 0（常 数），求柱体内温度的变化。 解：分析：以圆柱轴线为 z 轴建立柱坐标系，则温度 u(  , z,, t ) 与 z 和  都无关，  u (  , t ) 2 2 2 1  t    u (  , t )      u   , (0    b)  u | 0  , u | b  0,  u |t 0  u0 , u (  , t )  0 (   b),  其中  2  k / c  , 也就是热传导方程中的 a 2 . 本题中时间轴有“热流”，否则对于 稳态问题就要有 Newton 冷却定律，以使得热流流出来。See 习题 12.13. 设 u(, t )  T (t ) R(  ) ，代入上述方程和边界条件，可得： T ' (t )   2T (t )  0 .   R ''(  )  R '(  )   R(  )  0,   R(0)  , R(  ) | b  0. 这是零阶 Bessel 方程， 本征值和本征函数分别是[ y( x)  C1J m ( x)  C2 N m ( x), C2  0 ]  x (0)    n   n   b  2 (n  1,2, ), R(  )  Rn (  )  J 0 ( xn(0)  b )  J 0 ( xn(0) )  0. 2 T '(t )  n 2T (t )  0  T (t )  Tn (t )  Cn e n t  Cn e 2  x( 0)   n   t  b    . 2   u (  , t )   Cn J 0  xn(0)  e b  n 1   x( 0)   n   t  b    .       u |t 0  u0  u0   Cn J 0  xn(0) . 这是将常数 u 0 按 Bessel 函数 J 0 ( xn(0) )  展开的 b b    n 1 广义 Fourier 级数。利用 Bessel 函数的正交性和模方计算，可以得到 13 Methods of Mathematical Physics (2016.12) Chapter 13 Separation of variables in cylindrical coordinates and Bessel functions YLMa@Phys.FDU b u0 J1  xn  2u 2  (0)   Cn  u J x  d    (0) 0 (0) ,  2 0 0 0  n (0) 2 2 (0) b xn b J1  xn  xn J1  xn     J 0  xn(0)  b  2 1 其中， J m ( x (m) n (0) b  b 2 )  x 1 2 2 b J m 1 ( xn( m ) )  ，    1J   d  x 1J 1 ( x) . 0 2 2   J 0  xn(0)  e n 1 x J  x   b  故 u (  , t )  2u0  1 (0) n 1  x( 0 )   n   t  b    (0) n , 可讨论其物理意义。（模式分 解：基模式和低模式贡献大！） 例 2：由导体壁构成的中空圆柱，圆柱高为 h ,半径为 b ,设上底面的电势为 U ，侧 面和下底面的电势为零。试求圆柱体内部的电势。  2u (  ,  , z )  0, (0    b, 0    2 , 0  z  h)  解： u | 0  , u | b  0; Indep. on , ie.,  m  0.  u |z 0  0, u |z  h  U . 设 u(,, z)  R(  )()Z ( z) ，分离变量得   m 2  0,   Z    Z  0,  2 2 2   R   R     m  R  0.   m2  0 与周期性边界条件 (0)  (2 )和(0)  (2 ) 构成本征值问题。 由于问题是轴对称的，解与  无关，因此只取 m  0 ，相应的本征函数为   1 .  2 R  R   2  m 2 R  0   2 R  R   2 R  0 , 它与边界条件 R(0)  , R(  ) | b  0 构成本征值问题。这是零阶 Bessel 方程 [ y( x)  C1J m ( x)  C2 N m ( x), C2  0 ], 所以本征值和本征函数分别是： 2  x (0)    n   n  (n  1, 2,  b  ), R(  )  Rn (  )  J 0 ( xn(0)  b )  J 0 ( xn(0) )  0. 14 Methods of Mathematical Physics (2016.12) Chapter 13 Separation of variables in cylindrical coordinates and Bessel functions YLMa@Phys.FDU z z   Z   n Z  0  Z n ( z )  An cosh  xn(0)   Bn sinh  xn(0)  . b b   故    z z     u (  , z )   J 0  xn(0)   An cosh  xn(0)   Bn sinh  xn(0)   . b  b b     n 1  h    由边界条件 u |z 0  0, u |z h  U 可得 An  0 ， U   Bn sinh  xn(0)  J 0  xn(0) . b  b  n 1    这是将常数 U 按 Bessel 函数 J 0 ( xn(0) )  展开的广义 Fourier 级数，展开系数为 b   h  Bn sinh  xn(0)   b   1 b  J 0  xn(0)  b  2 b J x 2 2 1 因而 Bn   (0)   n   d b UJ  x    (0) n  2 0 0 a 2UJ1  xn(0)  (0) n x  2U . x J  xn(0)  2U h  x J  x  sinh  xn(0)  b  (0) n 1 (0) n 1 . (0) n z    sinh  xn(0)  J 0  xn(0)  b  b  故 u (  , z )  2U  , 可讨论其物理意义。 h   (0) (0) (0) n 1 xn sinh  xn  J1  xn  b   三、虚宗量 Bessel 函数（以例题引入） 例 3：由导体壁构成的中空圆柱，圆柱高为 h ,半径为 b , 设上、下底面的电势为 零，侧面的电势为常量 U ，试求圆柱体内部的电势分布。 （交换例 2 的边界条件）  2u (  ,  , z )  0, (0    b, 0    2 , 0  z  h)  解：定解问题 u | 0  , u | b  U ;  u |z 0  0, u |z  h  0. 由于 z 方向的边界条件允许分离变量，设 u(,, z)  R(  )()Z ( z) ，分离变量得：   m2  0 与边界条件 (0)  (2 )和(0)  (2 ) 构成本征值问题。由于问 15 Methods of Mathematical Physics (2016.12) Chapter 13 Separation of variables in cylindrical coordinates and Bessel functions YLMa@Phys.FDU 题是轴对称的，其解与  无关，因此只取 m  0 并且相应的本征函数为   1. 为 了叙述的一般性，暂时设 m  0,1, 2, , 就有   Z    Z  0.  2 2 2      R   R     m  R  0. 与例 2 不同，此时径向方程  2 R   R    2  m2  R  0 与所加边界条件不能构 成本征值问题，这是因为 u | b  U 不是齐次边界条件！ 但轴向方程 Z   Z  0 与相应的齐次边界条件 Z ( z ) |z 0  0和Z ( z ) |z h  0 构成 本征值问题。这类本征值问题是我们非常熟悉的，其本征值：   ( n 2 ) (n  1, 2,3, h ,   0), 本征函数： Z  Z n  sin n z. h 令    k 2 代入径向方程  2 R   R    2  m2  R  0   2 R   R   k 2  2  m2  R  0 . 记： k   x, R( )  y( x) ，代入以上方程得：   x 2 y  xy  x 2  m2 y  0 ---虚宗量 Bessel eq. 这是因为，记 ix  t, y( x)   (t ) ，代入以上方程得：   t 2   t   t 2  m2   0 ---Bessel eq.， (1) 其解为  (t )  AJ m (t )  BH (1) m (t )  y ( x)  AJ m (ix)  BH m (ix), m 2 k 1   ix  , H (1) 其中： J m (ix)   m (ix )  J m (ix )  iN m (ix ).   k  0 k !  m  k  1  2  k  因为当 x 是实数时，上述的 J m (ix)和H (1) m (ix ) 都是复函数。所以再引进 I m ( x)  i  m J m (ix),    i i m2 (1) K m ( x)  e H m (ix),  2 它们是实函数。这是因为 2k m m2k  1  1  ix   x   x I m ( x)  i J m (ix)   .        2 k  0 k !  m  k  1  2  k  0 k !  m  k  1  2  m  k 16 Methods of Mathematical Physics (2016.12) Chapter 13 Separation of variables in cylindrical coordinates and Bessel functions YLMa@Phys.FDU m  Integer 时， I m ( x)  Im ( x) ， J  m ( x)  (1) m J m ( x). 而 H (1) m ( x )  J m ( x)  iN m ( x) J ( x) cos  J  ( x)    lim  J ( x)  i    m sin    i e J ( x)  J  ( x)  i lim ,  m sin 所以 i i m2 (1) K m ( x)  e H m (ix) 2  i2 e  i J (ix)  J  (ix)     lim e  2  m  sin   i 2   i i I ( x)  e 2 i  I  ( x) 2  m sin I ( x)  I ( x)   lim  2  m sin   lim e  1  x 亦是实函数。我们称 I m ( x)     k  0 k !  m  k  1  2  函数， K m ( x)  m 2 k 是 m 阶第一类虚宗量 Bessel  I ( x)  I ( x) 是 m 阶第二类虚宗量 Bessel 函数，称为 lim  2  m sin Macdonald 函数。故当 x 是实数时， I m ( x)和K m ( x) 都是实函数。 I0=Plot[BesselI[0,x],{x,0,3},PlotStyle{Thickness[.002],B lack},AxesLabel{"x","Im,Km"},AxesOrigin  {0,0}]; I1=Plot[BesselI[1,x],{x,0,3}];K0=Plot[BesselK[0,x],{x,0,3 }];K1=Plot[BesselK[1,x],{x,0,3}];Show[I0,I1,K0,K1] ** I m ( x)和K m ( x) 的性质： I0 (0)  1 ， Im (0)  0 (m  1, 2, ) . 当 x  0 时， Im ( x)  0 , K m ( x)  0 . Im ()   , K m (0)   . 当 x  0 时, I m ( x)和K m ( x) 本身无零点,而是严格单调函数。 I'm ( x)  0 ， Im ( x) 是严格单调增函数; K'm ( x)  0 ， K m ( x) 是严格单调减函数: 17 Methods of Mathematical Physics (2016.12) Chapter 13 Separation of variables in cylindrical coordinates and Bessel functions YLMa@Phys.FDU 总之， x 2 y  xy  x 2  m2 y  0 ---虚宗量 Bessel eq.  y ( x)  AJ m (ix)  BH (1) m (ix )  y ( x)  AI m ( x)  BK m ( x) . 记： k  x ， R(  )  y( x) ，则：  2 R  R   k 2  2  m 2 R  0 .  R(  )  AI m (k  )  BK m (k  ) . 现在我们回到本节开始的例题 3。在本例题 3 中，m  0 . 因此，对应本征值 kn    n  n , 方程  2 R   R   kn2  2  m 2  R  0 的特解为 h Rn (  )  An I0 (n  h )  Bn K 0 (n  h ).    z  通解为 u(  , z )    An I0 (n )  Bn K 0 (n )  sin(n ) . h h  h n 1    b z 由 u | 0    Bn  0 (n  1, 2, ). 由 u | b  U  U   An I0 (n )sin(n ) h h n 1 z   即为将常数 U 按本征函数集 sin(n )  展开的 Fourier 级数, 展开系数为 h   h h b z z An I0 (n )   U sin(n )dz  sin 2 ( n )dz 0 0 h h h 2U h z  sin(n )dz  h 0 h h 2U z  cos(n ) n h 0  4U ,    n 0, n  1,3,5, n  2, 4, 6,  4U , n z  所以 u(  , z )   An I0 (n )sin(n ) ，其中 An I0 ( b)   n h h h n 1  0,   令： n  2l 1, l  0,1, 2, n  1,3,5, n  2, 4, 6, , 则  z ] sin[(2l  1) ] 4U h h . 最后再讨论其物理意义。 u(  , z)   b  l 0 I [(2l  1) ] (2l  1) 0 h  I0 [(2l  1) 18 Methods of Mathematical Physics (2016.12) Chapter 13 Separation of variables in cylindrical coordinates and Bessel functions YLMa@Phys.FDU 例 4：半径为 b 高为 h 的导体介质圆柱，其侧面有单位时间内通过单位面积流量 为 q0 ( z ) 的恒定热流垂直流入，上、下底保持恒温 u 0 . 求柱体内的稳定温度分布。 解：分析：以圆柱轴线为对称 z 轴建立圆柱坐标系，原点在下底中心处。显然， 温度 u(  ,, z, t ) 与 ( , t ) 无关。定解问题为 1  2  u (  , z )   u   uzz  0, (   b, 0  z  h)    u | 0  , q0 ( z )  k u    ˆ  | b  ku  | b ;  u |z 0  u0 , u |z  h  u0 .  先将下、上 ( z  0, z  h) 两底面的边界条件齐次化。为此令 u (  , z )   (  , z )  u0 ， 则关于函数 (  , z) 的定解问题为： 1  2  v(  , z )     v    vzz  0, (   b, 0  z  h)  q0 ( z )  ;  v |   0  , v |   b  k  v |z 0  0, v |z  h  0.   设 (, z)  R( )Z ( z) ，引进参数   0, 分离变量可得：  2 R  R   2 R  0 . Z   Z  0 ， Z ( z ) |z 0  0, Z ( z ) |z h  0. n 2 z ) (n  1, 2,3, ) , 本征函数： Z  Z n  sin(n ) . h h n 因此对应本征值 n  ( ) 2 ，方程  2 R   R  n  2 R  0 的特解为： h 本征值：   n  ( Rn (  )  An I0 (n  h )  Bn K 0 (n  h ).  (  , z) 定解问题的通解为     z  v(  , z )    An I0 (n )  Bn K 0 (n )  sin(n ) . h h  h n 1  由 v | 0    Bn  0 (n  1, 2, ). 所以 19 Methods of Mathematical Physics (2016.12) Chapter 13 Separation of variables in cylindrical coordinates and Bessel functions YLMa@Phys.FDU  v(  , z )   An I0 (n n 1  z )sin(n ) . h h q0 ( z )  q0 ( z ) n b z 由 v |   a     An I'0 (n )sin(n ) k k h h h n 1 q0 ( z ) z sin(n )dz n b 2 h z 0 k h  An I'0 (n )   q ( z )sin( n  )dz . 0  h 0 z h h hk h 2 0 sin (n h )dz h 2 1 z  An  q0 ( z ) sin(n )dz .  n k I' (n b ) 0 h 0 h  h  v(  , z )   An I0 (n n 1  故 u(  , z )  u0  v(  , z )  u0   An I0 (n n 1  z )sin(n ). h h  z )sin(n ). 最后再讨论其物理意义。 h h 四、球 Bessel 函数 1. 球 Bessel functions 在球极坐标系中，对于一个非稳定问题，如振动问题，我们有   utt (r , t )  a 2 2u (r , t )  0 . 这是一个齐次方程，可将时空分离变量，即令 u(r, ,, t )  T (t )V (r, ,) ，得 T   a 2 k 2T  0,  2 2  V  k V  0. 这个 Helmholtz 方程 2V  k 2V  0 在球极坐标系中变为 1 2 1 1 r Vr   2 sin V   2 2 V  k 2V  0 .  2  r r r sin  r sin  在这个齐次方程中，可将径向分离变量，即令 V (r, ,)  R(r)Y ( ,) ，得 1  1  sin  Y   2 Y  l (l  1)Y  0  球函数方程.  sin   sin  2 2 2 r R  2rR  [k r  l (l  1)]R  0  l 阶球Bessel方程.  20 Methods of Mathematical Physics (2016.12) Chapter 13 Separation of variables in cylindrical coordinates and Bessel functions YLMa@Phys.FDU 按照上章的经验，引进无量纲变量 x  kr, 并且做非线性变换 R(r )  1 y ( x), 则： x  1 1  1  y( x)  y ( x)  k ,  R(r )   2x x   x    R(r )   1 y( x)  1 y( x)  3 1 y ( x)  k 2 .    4 x2 x x x  x  代入上述的 l阶球Bessel方程 得：  2  1 2  1 x y  xy   x   l    y  0 --- l  阶 Bessel 方程， 2  2    2 其解为 y ( x)  Al' J l 1/2 ( x)  Bl' Nl 1/2 ( x)  R(r )  Al' 1 1 J l 1/2 (kr )  Bl' N l 1/2 (kr ) . kr kr 现在引入两个函数：   J l 1/2 ( x)  第一类球Bessel函数,  jl ( x)  2x   n ( x)   N ( x)  第二类球Bessel函数. l 1/2  l 2x Helmholtz 方程的径向解为 R(r )  Al jl (kr )  Bl n l (kr ). 类似于 Hankel 函数的定义方法，还可以定义两个互为复共轭的 l 阶球 Bessel 函数： h l(1) ( x)  jl ( x)  in l ( x),  (2) h l ( x)  jl ( x)  in l ( x). J ( x) cos  J  ( x)  (1)l 1 J l 1/2 ( x) , 即 J l 1/2 ( x) 线 性 无  l 1/2 sin 由 于 Nl 1/2 ( x)  lim 关。 在第八章(P.19)我们讲过，半整数阶 Bessel 函数可以用初等函数表示，例如： J1/ 2 ( x)  2 2 sin x , J 1/ 2 ( x)  cos x ; x x (还有更简单的解法，见例 6 和习题 12.13 的变量代换) 还可证明 l  2 l  12  d   sin x  l x  J l 1/ 2 ( x)  (1)   ,    xdx   x   l 2 l  12  d   cos x   J  l 1/ 2 ( x)   x  xdx   x  .  1 d  d  证明：由于  f ( x) 和 各 种 Bessel 函 数 的 递 推 关 系  f ( x)  x dx  xdx  21 Methods of Mathematical Physics (2016.12) Chapter 13 Separation of variables in cylindrical coordinates and Bessel functions YLMa@Phys.FDU  x Z  '   x Z , 所以，对于 Z  J ( x), 我们有      1  J 1 ( x)  d   J ( x)          1 . x  xdx   x  利用此式 l 次，可得 l  d   J ( x)  l J  l ( x ) .       (1) x l  xdx   x  在上式中令  2 1 ，并将 J1/ 2 ( x)  sin x 代入左端，即得 x 2 l l 2  d   sin x   d   J1/ 2 ( x )  l J l 1/ 2 ( x ) l J l 1/ 2 ( x )  .    1/ 2   ( 1)      (1) l 1/ 2   xdx   x  x x l 1/ 2  xdx   x  l 故 J l 1/ 2 ( x)  (1) l 2 l  12  d   sin x  x    .   xdx   x   同理，由 x Z  x Z 1 等可得，   l 2 l  12  d   cos x  J l 1/ 2 ( x)  x    .   xdx   x  因此， jl , n l ,h l(1) ,h l(2) 也都可以用初等函数表示了。 前几阶球 Bessel 函数的表示式： sin x cos x , n 0 ( x)  . x x sin x  x cos x cos x  x sin x , n1 ( x)  . j1 ( x)  2 x x2 j0 ( x)  j0 (0)  1 , jl (0)  0 (l  1), n l (0)   (l  0). 例 5：半径为 b 的均匀导热介质球，原来的温度为常量 u 0 . 将它放入冰水中，使 球面温度保持在零度，求球内温度的变化和空间平均值。 解：以球心为原点建立球极坐标系，显然温度 u(r , t ) 与 ( ,  ) 无关，定解问题为 22 Methods of Mathematical Physics (2016.12) Chapter 13 Separation of variables in cylindrical coordinates and Bessel functions YLMa@Phys.FDU ut (r , t )   2 2u (r , t )  0 (0  r  b),  u |r 0  , u |r b  0; u |  u .  t 0 0 设 u(r, t )  R(r)T (t ) ，即分离变量，可得： T    2T  0.  2 2 r R  2rR   r R  0. 由边界条件 R(r ) |r 0  , R(r ) |r b  0 ，可得： 2  xn(1/2)   (1/2) r    n    (n  1,2,  , Rn (r )  j0  xn b   b  其中 xn(1/2) 为 J1/2 ( x) 的正零点。由 J1/2 ( x)  xn(1/2)  n (n  0,1, 2, ). 而 j0 ( x)  ), 2 sin x 可知， J1/2 ( x) 的正零点 x sin x , 即因为 j0 (0)  1 ，所以 x0(1/2)  0 不是本征 x 值。因此本征值和本征函数可以写为： b r  n     n    , Rn (r )  sin  n  (n  1,2, n r  b   b 2  n    t  b  ). 2 而 T    2T  0  Tn (t )  Cn e  .  n  2 r   t 所以通解为 u (r , t )   Cn sin(n )e  b  . n r b n 1 b  Cn  b n 1 r sin(n ) ，得 n r b 1 b 由 u |t 0  u0  u0   Cn 2  u0 b r sin(n )r 2 dr n r b 0 r  2  b 0  n r sin(n b )  r dr 2n 2 2 bu0 b r 2n 2 2 bu0 b  sin( n  ) r d r  b( 1) n 1  2u0 ( 1) n 1. 3 3  0 b n b b n n b  n  2 2bu0  (1) n 1 r  b  t  u (r , t )  sin( n  )e . 最后再讨论其物理意义。   r n 1 n b 球内温度的空间平均值（匀质球，体密度为常量）： 23 Methods of Mathematical Physics (2016.12) Chapter 13 Separation of variables in cylindrical coordinates and Bessel functions YLMa@Phys.FDU u (r , t ) r  1 3  u(r , t )dr  3 b u (r , t )r 2dr 3 0 b 4 3 b 3 6u0  nt (1) n 1 a 6u0  nt 1 r  2 e r sin( n  ) d r   e n2 . b  n 1 n 0 b  2 n 1 例 6: 半径为 b 的金属球，表面温度为零，球体内部的初始温度分布为 f (r), 求 冷却过程中球体内部的温度分布。 解：由于对称性，定解问题 u (r , t ) :  2 1 (ru )''rr (r  b), ut   r   u |r b  0, u |t 0  f (r ). (rR)'' k 2 (rR)  0  rR  {sin( x),cos( x)}or R  {j0 ( x),n 0 ( x)}. 令 u  R(r )T (t ) :  2 2  ( n / b )2 t ( x  kr ). T '   k T  T  e 这是 要求R(0)有限，  j0 ( x)  r  b : R(b)  0, sin x cos x ok, n 0 ( x)  舍去。 x x sin kb  0, kb  xn(1/2)  n . eigenvalues: n  [n / b]2 (n  1, 2, ). kb  Bn nt r 2 b r e sin(n ), 其中 Bn   rf (r )sin(n )dr , n  (n / b) 2 . b b 0 b n 1 r 故 u (r , t )   最后再讨论其物理意义（模式分解：基模式和低模式贡献大！）。 由于半整数阶 Bessel 函数可以用初等函数表示，所以半整数低阶 Bessel 函 数可用简单的初等函数表示，从而本征值问题比较简单。一般地也可以表示如下。 2. 本征值问题 将球 Bessel 方程 r 2 R  2rR  [k 2 r 2  l (l  1)]R  0 改写为 Sturm-Liouville 型， d  2 dR(r )  r  [k 2 r 2  l (l  1)]R(r )  0,   dr  dr  其中 k (r )  r 2 , k 2 为待定常数，权重函数为 r 2 . 在区间 0  r  b 上， k (r ) |r 0  r 2 |r 0  0 ，需加自然边界条件 R(r ) |r 0  . k (r ) |r b  r 2 |r b  b 2 , 需加齐次边界条件 R(r ) |r b  0, R(r ) |r b  0 或其线性组合。 我们已经知道方程的解为 R(r )  Al jl (kr )  Bl n l (kr ). 24 Methods of Mathematical Physics (2016.12) Chapter 13 Separation of variables in cylindrical coordinates and Bessel functions YLMa@Phys.FDU 因为 j0 (0)  1 , jl (0)  0 (l  1), n l (0)   (l  0), 由自然边界条件 R(r ) r 0    Bl  0 ， R(r )  Al jl (kr ) . 由齐次自然边界条件 R(r ) r b  0  jl (kb)   x (l  12 )  2   k  n   n  b  2  2kb Jl 1/2 (kb)  0  Jl 1/2 (kb)  0  (l  1 ) r  ) ---本征值， Rn (r )  jl  xn 2  ---本征函数， b  (n  1,2,   (l  1 ) r   其中 xn( l 1/ 2) 为 J l 1/ 2 ( x) 的第 n 个零点。本征函数  jl  xn 2   （固定 l 的情况下） b     (l  12 ) r   (l  12 ) r  2 j l 0  xn b  jl  xn ' b  r dr  0 b 的正交关系是： 模方：  (l  1 ) r  jl  xn 2  a  2 (n  n) . 2 b   (l  1 ) r     (l  12 ) r  2 2    jl  xn 2   r 2dr   J l 1/2  xn  r dr 0 0 2 x ( l 1/2) r / b b  b    n 球系 a 2 柱系 b b b  (l  1 ) r   (l  12 ) r   (l 1/2)  J 2l 1/2  xn 2  rdr  J l 1/2  xn  . 0 2 xn b 2 xn( l 1/2) b   2 2 b  (l  1 ) r   (l  1 ) r   jl  xn 2   (l 1/2) Jl 1/2  xn 2  . b 2 xn b   2  1  因为 J m  xn( m)   b2 J 2m1 ( xn( m) )  ，所以 b 2  2 b3 2 b3 2  (l  12 ) r  ( l 1/2) jl  xn  j l 1  xn(l 1/2)  .    (l 1/2) J l 3/2  xn b 4 xn 2    (l  1 ) r   在区间 0  r  b 上的平方可积函数 f (r) 可按本征函数  jl  xn 2   （固定 l 的情 b      (l  1 ) r  况下）展开为广义 Fourier 级数： f (r )   Cn jl  xn 2  ，其中展开系数为 b  n 1 Cn   (l  12 ) r  2 f ( r ) j l  xn  r dr. 2 0 b   (l  12 ) r  jl  xn  b  1 b 同理可得齐次边界条件 R(r ) |r b  0 或 ( R '  R ) | b  0 的解（讨论，自习） 。 25 Methods of Mathematical Physics (2016.12) Chapter 13 Separation of variables in cylindrical coordinates and Bessel functions YLMa@Phys.FDU 例 7．解定解问题： ut  a 22u (r , ,  ) (0  r  b, 0     , 0    2 );  u r 0  , u r b  0;  u t 0  f (r ) cos  . 解 ：（ 请 补 本 题 的 物 理 提 法 ） 取 球 极 坐 标 系 ， 由 边 界 和 初 始 条 件 可 知 u(r , t )与无关, 令u  T (t )V (r, ) 带入上式 可得 T ' a 2 T  0; T '  2V    . 即 2 a 2T V  V  V  0. 再令 V  R(r )( ) , 代入 Helmholtz 方程 2V  V  0, 得 1 2  1  r R    r 2    sin    l (l  1).  R  sin  从而有， r 2 R  2rR  [ r 2  l (l  1)]R  0, （l 阶球 Bessel 方程） 可 将 其 化 为 l 1 阶 2 Bessel （1） 方 程 （ 过 程 同 上 ）。 即 ， 命 令 x   r (  0, to be determined below) 和 y ( x)  xR (r ), 则  2  1 2  xy  2 xy   x   l    y  0.  2    另一个方程为   cos    l (l  1)  0. sin  方程（2） 可化为 Legendre 方程: （2） 1  x  y  2 xy  l (l  1) y  0. 即，命令 x  cos , 2 和 y( x)  ( ). 它与自然边界条件 (0)和( ) 有界，即 y( x) x1 有界，构成本征 值问题，其本征值和本征函数分别为 l (l  1), y( x)  Pl ( x) (l  0,1, 2, ). 方程（1）或者 l  1 阶 Bessel 方程与边界条件 R r 0  , R r b  0 构成本征值 2 2  xn( l 1 / 2 )  r  ， Rnl (r )  jl  xn(l 1/2)  , 问题 ， 其本征值和本征函数分别为   nl   b   b  其中 xn(l 1/ 2) 是 Jl 1/2 ( x) 的正零点 (n  1,2,3, ), 对应的本征值为   nl . 由方程 T ' a nlT  0 解得: Tnl (t )  Anl e 2  a 2 nl t  Anl e   2 a2  2 xn( l 1/2 ) t b . 因此，定解问题的一般解为 26 Methods of Mathematical Physics (2016.12) Chapter 13 Separation of variables in cylindrical coordinates and Bessel functions YLMa@Phys.FDU  2  xn( l 1/2 )  t r  u (r , , t )   Anl jl  xn(l 1/ 2)  Pl (cos  )e b . b   l  0 n 1  a2   2  r  由条件 u t 0  f (r ) cos ，得  Anl jl  xn(l 1/2)  Pl (cos  )  f (r ) cos  . b  l 0 n 1  r  由 P1  cos  可以确定只有 l  1 , 因此，有  An1 j1  xn(3/2)   f (r ). 因为 f (r) 已 b  n 1 知，所以 An1  1 b  (3/2) r  2 n  r dr. b f (r ) j  x   r  j1  xn(3/2)  b  2 1 0 a  2  xn(3/2)  t  (3/2) r  b 故 u (r , , t )   An1 j1  xn . 最后再讨论其物理意义(初始有  cos  e b  n 1 2  2 cos  ，以后只能有 l  1: cos ). 例 8．平面波按球面波的展开（匹配、归化、一统描述）：  eikz   (2l  1)i l jl (kr )Pl (cos  ). l 0  证明：将平面波按 Legendre 函数展开：eikz  eikr cos   cl (kr )Pl (cos  ), 其中系数 l 0 1 1 1 1 l  1/ 2 ikrx d l 2 l  1/ 2 l cl (kr )  (l  )  eikrx Pl ( x)dx  l e ( x  1) d x  (ikr )l  eikrx ( x 2  1)l dx, l l  2 1 2 l ! 1 dx 2 l! 1 其中最后一步用到了 l 次分部积分。再将 e ikrx 在 x  0 附近按 Taylor 级数展开：  1 m y , m0 m ! ey   其中 y  ikrx, m  2s 1 时(被积函数为奇函数)上述积分为零， m  2s. 展开系 1 1 0 0 数中的积分变为 I s   x 2 s ( x 2  1)l dx   z s ( z  1)l dz (1)l 1  B( s  , l  1), 则 2 2 2 z  2l  1 (ikr ) 2 s l cl (kr )  l (ikr )  Is. 2 l! s  0 (2 s )! 其中 B( p, q)   ( p ) ( q ) 1 (2s)  (2s  1)!  (2s)!  , ( s  )  2 s 1   , ( p  q ) 2 2 ( s) 22 s 1 ( s  1)! 22 s s ! 27 Methods of Mathematical Physics (2016.12) Chapter 13 Separation of variables in cylindrical coordinates and Bessel functions YLMa@Phys.FDU 又     1 s x jl ( x)  J l 1/2 ( x)     2x 2 x s  0 s !  l  s  3 / 2   2  l  2 s 1/ 2 ,  cl (kr )  (2l  1)i l jl (kr ), 得正。 五、可化为 Bessel 方程的一类方程、Airy 方程的有限解 有一类方程，通过自变量和函数的适当代换可化为 Bessel 方程，例如球 Bessel 方程等： t 2u  tu  (t 2  m2 )u  0 , （Bessel eq.) （1） 作代换 t   x  , u (t )  x y ( x) ，其中  ,  ,  为常数，   0 ,   0 ，方程化为 x 2 y( x)  (2  1) xy( x)  ( 2   2 m2   2 2 x 2  ) y( x)  0 , 即： x 2 y( x)  axy( x)  (b  cx d ) y( x)  0 , （2） （3） 其中 a  2  1, b   2   2 m2 , c   2 2 , d  2 . 由此可见，形如方程（3）的一类方程均可通过变换化为 Bessel eq.来求解。 例如：Airy 方程 y( x)  xy( x)  0 的有限解。 （4） 解：看似如此简单的方程，由于其复杂性要分以下三步进行求解： (1)当 x  0 时,比较方程(4) x 2 y( x)  x3 y( x)  0 与(3)有 a  0 , b  0 , c  1 , d  3 ,即    2 1 1 3 ,   ,   i , m 2  ,可见作代换 3 2 9 2 2 y ( x)  x1/ 2u (t ) , t  i x 3/ 2 后，方程（4）将变为 u(t ) 的 1/ 3 阶 Bessel eq.或者 3 2 作代换 y ( x)  x1/ 2u (t ) , t  x3/ 2 后，方程（4）变为 u(t ) 的 1/ 3 阶虚宗量 Bessel 3 eq.，即： t 2u(t )  tu(t )  [t 2  (1/ 3)2 ]u (t )  0 . 这个方程的解为 u (t )  CI1/ 3 (t )  DK1/ 3 (t ) . 因而方程（4）的解为 y( x)  C xI1/ 3 (2 x3/ 2 / 3)  D xK1/ 3 (2 x3/ 2 / 3) ， 其中 C, D 是任意常数。由 Im ()   ，要使 y ( x ) 有限，必须 C  0 ，可以证 明 xK1/ 3 (2 x3/ 2 / 3) 在 0  x   上是有限的，因此 28 Methods of Mathematical Physics (2016.12) Chapter 13 Separation of variables in cylindrical coordinates and Bessel functions YLMa@Phys.FDU y ( x)  xK1/3 (2 x3/ 2 / 3) ( x  0) . （2）当 x  0 时，方程（4）可以改写为 y( x )  x y( x )  0. （5） 将 之 与 方 程 （ 3 ） 比 较 有 a  0 , b  0 , c 1 , d  3 ， 即 1 2 1 9 2 3 3 2    ,   ,   , m 2  ，可见，作代换 y ( x )  x 1/ 2 u (t ) , t  2 3/ 2 x 后， 3 方程（5）变为 u(t ) 的 1/ 3 阶 Bessel eq.，即： t 2u(t )  tu(t )  [t 2  (1/ 3) 2 ]u(t )  0, 其解为 u (t )  AJ1/ 3 (t )  BJ 1/ 3 (t ). 故（5）的解为 y ( x )  x [ AJ1/ 3 (2 x 3/ 2 / 3)  BJ 1/ 3 (2 x 3/ 2 / 3)], ( x  0) 其中 A, B 是任意常数。 （3）为了求出方程（4）在无界区间   x   上完整的有限解，我们必须选 取适当的 A 和 B ，使 y ( x ) 与 y ( x ) 在 x  0 点光滑地相连接，为此，考察 x 1 时， y ( x ) 和 y ( x ) 的近似式。 当0  t 1时，各取 I 1/ 3 (t ) 级数表达式的首项： K1/ 3 (t )   3 所以 y ( x) ~ [I 1/ 3 (t )  I1/ 3 (t )] ~   1 t 1 t ( ) 1/ 3  ( )1/ 3 ]. (4 / 3) 2 3 (2 / 3) 2 [ 3 3 1 3 x]; (0  x  1) 3 (2 / 3) 3(4 / 3) [ y ( x ) ~ x [ A 3 x 1/ 2 B 3 3 1/ 2 x ] (2 / 3) 3(4 / 3) A ( x) B 3   3. (0   x  1) (4 / 3) 3 3 (2 / 3) 为使 y ( x ) 与 y ( x ) 在 x  0 点光滑连接，比较上面 y ( x ) 与 y ( x ) 的渐近式， 得到 A  B   3 . 因此方程（4）的有限特解（同乘常数因子 1/  3 ）为： 29 Methods of Mathematical Physics (2016.12) Chapter 13 Separation of variables in cylindrical coordinates and Bessel functions YLMa@Phys.FDU 3/ 2 3/ 2 1  3 x [J1/ 3 (2 x / 3)  J 1/ 3 (2 x / 3)]; ( x  0) y ( x)    1 x K1/ 3 (2 x 3/ 2 / 3). ( x  0)   3  可以证明 y ( x ) 就是 Airy 函数 Ai( x)  1  i (  2 3  x ) e d  2  至多相差一个常数因子。 例 9. 第七章 pp10-11 例 4（教材 pp131-133 例 5）. （虽是定解问题，但给不出 eigenvalues！）  2 d 2 ( x)  eEx ( x)  E ( x),  x  0   2  2m dx  ()  0,  ( )  （物理要求） 0 .  引入 2me E 1 2mE  x  3 ， 2  2 ，     ，并计此处的 2  l  l l 电子波函数 (x) 为 u ( ) ，则定解方程变为： u ( )   u ( )  0     ,  u ()  0, u ( )  0. 我们用 Fourier 变换法求得 u ( ) 为爱里(Air)函数： u '(k )  ik 2u (k ), u (k )  eik /3 , 3 {Plot[AiryAi[x],{x,-10,5}]} 0.4 0.2 10 8 6 4 2 2 4 0.2 0.4 Ai( )   1 e 2   k3  i   k   3    dk   1 e 2   k3  i   k   3    dk . 显 然 它 亦 满 足 方 程 u( )  u( )  0 （ 只 要    ）。 此 外 ，  ()  0,  ()  0 ， 即 u()  0, u()  0 亦 是 其 边 界 条 件 。 我 们 把 u( )   u( )  0，u( )   u( )  0 都称为爱里方程。 30 Methods of Mathematical Physics (2016.12) Chapter 13 Separation of variables in cylindrical coordinates and Bessel functions YLMa@Phys.FDU 在这个例子中，电子从金属表面（ x  0 ）发射，半无界区域的边界条件 (0) 和 (0) 不清楚，所以有解（Airy 函数） ，但没有本征值。如果将问题改为，粒 子处于均匀电场或重力场中的半无界区域（ x  0 ） ，另一半是绝缘体或真空，附 加边界条件为 (0)  0 ，则  ( x)  Ai( ), (    ) ，本征值  是 Airy 函数的零点： Ai( )  0. 解得 n ，例如： 1  2.338 , 2  4.088 , 3  6.787 , 4  7.944 ,本征函数为  2 | n | ， n  1, 2,3,  n ( x)  Ai(n  x / l ). 本征能量为 En  2ml 2 . 衰减式振荡函数和束缚能量（同一方程，不同边界条件—物理要求，不同结果）。 例 10. 另 一 个 例 子 是 多 体 问 题 的 平 均 场 理 论 ， 除 两 体 间 有 零 程 相 互 作 用 4 2 a ， a 为 s-wave 散射长度 (  a  ) ]以外，多体效 U 2  g (r2  r1 ) [ g  m 应用平均场 U  g r2  r1 代替。 两体 (r1 , r2 ) 问题： (  2 2  2 2 r   r  U 2 ) (r1 , r2 )  Eb (r1 , r2 ). 2m 1 2m 2 引进相对坐标 r  r2  r1 和质心坐标 R  mr1  mr2 1  (r1  r2 ) ，且分离变量 mm 2  (r1 , r2 )  ( R) (r ), 则：  rj  R r 1 R   r   R   r , ( j  1, 2) rj rj 2 1 2rj  2R  2r   R  r ,( j  1, 2). 4 代这些公式代入两体问题的 Schrodinger 方程，得：  2 2  2 2 [    r  U 2 (r )] ( R) (r )  Eb  ( R) (r ). 4m R m 由于 U 2 (r )  g (r ) 是球对称、空间均匀的，  ( R ) 在大尺寸 R 范围内是“慢”变 量，  2R  ( R)  0 ， (r ) 在小尺寸 r 范围内是球对称“快”变量，则上述方程简 31 Methods of Mathematical Physics (2016.12) Chapter 13 Separation of variables in cylindrical coordinates and Bessel functions YLMa@Phys.FDU 化为：  2 2 [  r  g (r )] (r )  Eb (r ). m 令 (r )   (r ) Ylm ( ,  ) ，则： 4 r 1   1   l (l  1)  (Ylm 2r   2 Ylm )  [  ]Ylm . r r r2 r 4 4 r  2r (r )  取 s 波（ l  0 ）,则上述方程（除过 r  0 外）变为：  2  (r )  Eb (r ). m 0 r  0 呢？取积分  d r   r 2dr sin  d d , 得： 3 r  0 0 0 4  r dr  4 a  0  r r 0   (r )d r  3  mEb 2 0 4  rdr. 0 0  (0 )  0 在上式首项中有  rd   (r    ) |00   (0);    0   0    (r ) ( ) ( )  (r )  , 在上式中项中有   (r ) dr  |r 0 . 2 r r r sin  0  又  (0)   (0 )   (0 ) 0  0   (0 ) 0 中项变为  (0); 而上式末项中 r 为光滑连续函 数，其小区域积分为零，故两体零程相互作用的边界条件为  (0)  a(0). 假设多体系统由两分量的 Fermi 气体组成，则上述两体问题构成的本征值问  2 2 r a e ，本征值为 Eb  题有解：对于正散射长度 a  0 ，本征函数为  (r )  ， ma 2 a 这是两体的束缚能，当 a  0 时， Eb   ，即两分量 Fermin 原子组成 Dimer 分子（它是 Bose 子） ，分子的平均大小为 r  a / 2; 对于负的散射长度 a  0 ,不 存在束缚态，Eb  0 ，即两分量 Fermi 原子仍为 Fermi 子，其多体效应由 Cooper 32 Methods of Mathematical Physics (2016.12) Chapter 13 Separation of variables in cylindrical coordinates and Bessel functions YLMa@Phys.FDU 对来体现。 2 在“快、慢”变量分离情况下，假设  ( R)    const. ，Fermi 波矢为 k F  (6 2  )1/ 3 ，Fermi 能为 EF  2 k F2  2m 2 2 (6 2  ) 2 / 3 , 平均场 U  gr ，其中 g  c 2m m （常数 c 待定）。由广义 Cooper 对组成的多体问题简化为 2  2   (r )  c  r (r )   (r ) (0  r  ),  m  m  (0)  a (0) (  a  ).  设 c  6 2 3/ 2 （常数  待定） ，则上述本征值问题的解为：  (r )  Ai( 1/ 2 k F r   / 2 EF ), 其中无量纲本征值  / 2 EF 满足 kF a   1/ 2 Ai( / 2EF ) . Ai'( / 2EF ) 在 BEC(广义 Cooper 对组成的 Bose 子发生 Bose-Einstein Condensate)情况下， a  0  ，  / 2 EF  , 上述本征值方程自动成立；在 BCS(Bardeen, Cooper,and Schrieffer 研究 Fermi 体系的超导与超流时提出的 Fermi 集体合作理论)情况 下，a  0  ， / 2 EF  1, 上述本征值方程变为 Ai( )  0, 即   2.338 为 Airy 函数的第一个零点；在 BEC-BCS 渡越(BEC-BCS Crossover)的幺正极限(unitary limit)下， a   ，上述本征值方程变为 Ai'( / 2 EF )  0, 即 UL / 2EF  1.019 或 UL / 2 EF  1.019 / 2.338  0.4351, 实验值为 0.44(1). a=2.338; y[x_]:=-1/a^(1/2) AiryAi'[-a x]/AiryAi[-a x]; e[x_]:=(y[x])^2+x/;x<.4358;e[x_]:=x/;x>.4358; p=ParametricPlot[{{y[x],e[x]}},{x,-15.9,.93},AspectRatio .68/1,PlotStyle{Dashing[{.02,.01,.02,.01}],Thickness[.00 5],Black}]; p2=Show[p,Graphics[Text[Style["(a)",28],{-3,0.8}]],Frame True,FrameLabel{Text[Style["k_Fa",FontSize22]],Text[Sty le["(\mu+E_b)/2E_F",FontSize22]]},FrameTicksStyleDirect 33 Methods of Mathematical Physics (2016.12) Chapter 13 Separation of variables in cylindrical coordinates and Bessel functions YLMa@Phys.FDU \mu E b 2E F ive[20],FrameStyleDirective[Thick,Thick],PlotRange All,AxesStyleThickness[0.01],AspectRatio0.85] a 0.8 0.6 0.4 0.2 4 2 0 2 4 1 k Fa Note： will be show the solid square. It should be changed into the arrow in the math. 练习题： 1.半径为 b 和高为 h 的圆柱体，下底的温度保持为零度，上底的温度为  的函数 f ( ) ，其侧面在零摄氏度的空气中自由冷却，求圆柱体内部各点的稳恒温度 分布。 2. 半 径 为 R 的 圆 形 膜 ， 边 缘 固 定 。 初 始 形 状 是 旋 转 抛 物 面 ， 即 u (  , t ) |t 0  H (1  2 R2 )， （ H 为常数） ，初始温度为零。求解膜的振动情况。 3. 底半径为 a ,高为 h 的均匀导热圆柱，上底面绝热，下底面保持温度为零度， 侧面保持温度为常数 v ，求柱内的温度分布。 4. (例 7)解定解问题 ut  a 2 2u (r ,  ,  ), (0  r  b, 0     , 0    2 )  u |r 0  , u |r b  0; u |  f (r ) cos  .  t 0 作业：13.3,13.6,13.10. 34