复旦大学第十二章 球坐标下的分离变量法Legendre多项式....doc 
复旦大学第十二章 球坐标下的分离变量法Legendre多项式....doc
Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 12 Separation of variables in sphere coordinates, Legendre polynomials and harmonic functions YLMa@Phys.FDU Chapter 12 球坐标系下的分离变量法 Legendre 多项式和球谐函数 Abstracts 正交曲线坐标系及在此坐标系下 Laplace 算术的表示； 球极坐标系下的变量分离法及由此得出的特殊函数（例如， Legendre 函数、连带 Legendre 函数和球谐函数等）。 函数空间概念(复习) r r r r r r r 3D：基矢： {ej }( j =1,2,3) ；正交： ei ×ej =dij ；表示： x =xe 1 1 +x2e2 +x3e3 , 这是 3D Euclid space，直观、简单、符合常识。 r (3+1)D：是加 t ，还是加 ite4，如何去加？时空观的变革：相对运动，不但有 了相对时空位置，还有了 scaling（标尺）、不变性和时空弯曲等概念。 n D：基矢是 {j j (x)}( j =1,2,3,××× , n)，带权 r (x) 的正交归一性如下： òr (x)j i (x)j j (x)dx =dij Þ ¥ D：Hilbert space. 基矢亦是函数，并且 straight * scaling ® curve scaling.j：quantum numbers. 抽象、复杂、冲破常识！ ¥ 对于任意函数 f (x), 只要其定义域与 {j j (x)}的相同，总有 f (x) =å cnj n (x), n=1 ¥ * 其中 òdxr (x)j m (x) f (x) =å cn òr (x)j m (x)j n (x)dx =cm is a representation! * n=1 当 f (x) 已知时， cn 是上式；当 f (x) 是 j n (x) 的线性组合时， cn 是其系数。 1． n D 向量空间: 有 n D 向量的集合. r r r r 1) 表述： n 个独立的单位矢量 e1, e2, ,× × × , en 排成基向量，选 {ej }为正交归一基 r n r r r r r r 矢，即 ei ×ej =dij ，则 x =å xj ej 和 xj =x×ej （在 ej 上的坐标值—表示） 。 j =1 n r r r r 2) 内积： x×y =(x, y) =å x*j yj . j =1 n n r r r 2 r2 3) 模方： (x, x) =å x*j xj =å xj = x . j =1 j =1 r 4) 基矢的完备性： n D 空间有 1D 矢量系 {ej }( j =1,2,× × × , n) ，若不能在此空间 1 Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 12 Separation of variables in sphere coordinates, Legendre polynomials and harmonic functions YLMa@Phys.FDU r r r n r 找出一个简单向量 f ，使 f 与 {ej }正交，则称为完备系， x =å xj ej . r j =1 2．函数空间（Hilbert space）：在域 x[a,b] 上分段连续、平方可积的函数 j (x) b [ ò r (x)j * (x)j (x)dx有限]的集合所排成的空间称为 Hilbert space. a ì ænp öü ì ænp öü 1) 正交函数系：如① x[0,l ]内的 í sinç x÷ý 和 í cosç x÷ý, è l øþ î è l øþ î ì ænp ö ænp öü ② x[- l ,l ]内的 í 1,cosç x÷,sinç x÷ý 均为完备基。 èl ø è l øþ î 一般带权正交函数系的定义：设 j 1 (x),j 2 (x),× × × ,j n (x),× × ×,在 x[a,b] 上有 b (j m (x),j n (x)) =òa r (x)j m (x)j n (x)dx =Nndmn ， * 2 则 称 {j n (x)}是 在 x[a,b] 上 的 带 权 [ r (x) >0] 正 交 函 数 系 。 把 b (j n (x),j n (x)) =òa r (x)j n (x)j n (x)dx = j n (x) =Nn 称为模之平方，若 2 * 2 ì j n (x)ü ý î Nn þ Nn2 =1（对于所有的 n ）称为 {j j (x)}为正交归一函数系 í (A set of orthogonal complete normalized function bases). 2) 广义 Fourier 展开(expansion)：若 j n (x)是 x[a,b] 上的正交完备系，则 x[a,b] 上任意分段连续（平方可积）的函数 f (x) 均可表示为 b ò f (x)j n (x)r (x)dx . f (x) =å cnj n (x), 其中 cn = ab n òa j n (x)j n (x)r (x)dx ¥ =1 * * 一、 正交曲线坐标系 1．从直角坐标系到正交曲线坐标系 ì x =r sinq cosj , ï 球坐标系 (r, , ) 关系: í y =r sinq sinj , ï z =r cosq. î ì x =r cosj , ï 柱坐标系 (, , z) 关系: í y =r sinj , ï z =z. î 2 Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 12 Separation of variables in sphere coordinates, Legendre polynomials and harmonic functions YLMa@Phys.FDU ì x =x(q1, q2, q3), ï 一般曲线坐标系 (q1, q2, q3) 关系: í y = y(q1, q2, q3), ï z =z(q , q , q ), 1 2 3 î ¶x / ¶q1 ¶x / ¶q2 ¶x / ¶q3 ¶(x, y, z) 满足 Jacobi 行列式 =¶y / ¶q1 ¶y / ¶q2 ¶y / ¶q3 ¹ 0(变换条件). ¶(q1, q2, q3) ¶z / ¶q1 ¶z / ¶q2 ¶z / ¶q3 如果三族坐标线是处处相互正交的，则称这种坐标系为正交曲线坐标系。 如何判断一个坐标系是否为正交坐标系？可以通过计算弧元长度: (ds) =(dx) +(dy) +(dz) 2 2 2 2 2 æ¶x ö ¶x ¶x =ç dq1 + dq2 + dq3 ÷ ¶q2 ¶q3 è¶q1 ø 2 æ¶y ö ¶y ¶y +ç dq1 + dq2 + dq3 ÷ ¶q2 ¶q3 è¶q1 ø 2 æ¶z ö ¶z ¶z +ç dq1 + dq2 + dq3 ÷ ¶q2 ¶q3 è¶q1 ø = å gij dqi dqj , i , j =1,2,3 其中， gij g ji x x y y z z . 如果 gij giiij ，则称此坐标系 qi qj qi qj qi qj 为正交曲线坐标系。这是因为沿坐标轴 qi 的弧元长度为 dsi =hi dqi ，而 hi gii 称为坐标曲线 qi 的度规因子； (ds)2 =h12 (dq1)2 +h22 (dq2 )2 +h32 (dq3)2. 如果 gij dqi dqj =(hi dqi )2dij , 即各个坐标曲线的相互投影为零，则它们之间相互正交。 例如，对于球坐标系， (ds) =(dx) +(dy) +(dz) 2 =(sinqcosj dr +r cosq cosj dq - r sinq sinj dj ) 2 +(sinqsinj dr +r cosq sinj dq +r sinq cosj dj ) 2 +(cosqdr - r sinqdq ) 2 2 2 =(dr ) +r 2 (dq ) +r 2 sin2 q (dj ) . 2 2 2 2 球 坐 标 系 是 正 交 曲 线 坐 标 系 ， hr g11 1， h g22 r ， 3 Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 12 Separation of variables in sphere coordinates, Legendre polynomials and harmonic functions YLMa@Phys.FDU h g33 r sin . 对于柱坐标系， (ds) =(dx) +(dy) +(dz) 2 2 2 =(cosj dr - r sinj dj ) +(sinj dr +r cosj dj ) +(dz) 2 2 2 =(dr ) +r 2 (dj ) +(dz) . 2 2 2 2 Þ 柱坐标系也是正交曲线坐标系，且 h g11 1， hf = g22 =r ，hz g33 1. 2． 函数在正交曲线坐标系中的表达式 在直角坐标系中， (r r ) (x x) ( y y) (z z) . 设 r 点对应于直角坐标系 x, y, z的新坐标为 q1, q2, q3，即 x x(q1, q2, q3) y y(q1, q2, q3) ，并设 f (x, y, z) 在点 x, y, z附近为连续的任意函数， z z(q, q, q) 1 2 3 按 函数的定义，有 òòòf (x, y, z)d(x- x¢)d( y - y¢)d(z - z¢)dxdydz = f (x¢, y¢, z¢). 左边的积分可以作变量代换，而右边的函数作上述变量代换，有 òòòf [x(q , q , q ), y(q , q , q ), z(q , q , q )]d(x- x¢)d( y - y¢)d(z - z¢) 1 ´ 2 3 1 2 3 1 2 3 ¶(x, y, z) dq1dq2dq3 = f [x(q1¢, q2¢, q3¢), y(q1¢, q2¢, q3¢), z(q1¢, q2¢, q3¢)]. ¶(q1, q2, q3) 另一方面，由 函数的定义，又有 òòòf [x(q , q , q ), y(q , q , q ), z(q , q , q )]d(q - q¢)d(q - q¢)d(q - q¢) 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3 ´ dq1dq2dq3 = f [x(q1¢, q2¢, q3¢), y(q1¢, q2¢, q3¢), z(q1¢, q2¢, q3¢)]. 比较上面两式，由于 f 是任意函数，得到 d(x - x¢)d( y - y¢)d(z - z¢) ¶(x, y, z) =d(q1 - q1¢)d(q2 - q2¢)d(q3 - q3¢), ¶(q1, q2, q3) 即在一般正交曲线坐标系中， 函数的表达式为 d(q - q¢)d(q2 - q2¢)d(q3 - q3¢) d(x - x¢)d( y - y¢)d(z - z¢) = 1 1 . ¶(x, y, z) ¶(q1, q2, q3) 4 Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 12 Separation of variables in sphere coordinates, Legendre polynomials and harmonic functions YLMa@Phys.FDU 在正交曲线坐标系中，由六个面 q1, q1 dq1, q2, q2 dq2, q3, q3 dq3 所构 成的体积元为 dt = ¶(x, y, z) dq1dq2dq3 =hh 1 2h3dq1dq2dq3. ¶(q1, q2, q3) 因此， (x x) ( y y) (z z) (q1 q1) (q2 q2) (q3 q3) . h1h2h3 球坐标系中， hr 1， h r ， h r sin , (x x) ( y y) (z z) (r r ) ( ) ( ) . r 2 sin 柱坐标系中， h 1， h ， hz 1, (x x) ( y y) (z z) ( ) ( ) (z z) . 平面极坐标系中， h 1， h , (x x) ( y y) ( ) ( ) . 由体积元 dt =hh 球坐标系中体积元为 r 2dr sinqdqdj , 权重 1 2h3dq1dq2dq3 知道， 函数分别为 (r 2,sinq,1). 柱坐标系中体积元为 r dr dj dz, 权重函数分别为 (r ,1,1). r r 3．场量的梯度(grade: u )，散度(divergence: Ñ×A )，旋度(rotation: Ñ´ A )和 Laplace 算符 2 等在正交曲线坐标系中的表达式 （1）标量 uq1, q2, q3 的梯度 u 是一个矢量，在直角坐标系中的表达式是 u u ˆ u ˆ u ˆ i j k， x y z 其中 iˆ, ˆj , kˆ分别是 3D 实空间中三个坐标轴的单位矢量。 在一般正交曲线坐标系中， u 的三个分量定义为沿三条坐标轴的变化率 u ，如以 êi i 1,2,3分别表示点 (q1, q2, q3) 沿三条坐标线的单位矢量，就有 si 3 u 1 u ˆ u ei eˆi . (Note: dsi =hi dqi ) s h q i 1 i 1 i i i 3 5 Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 12 Separation of variables in sphere coordinates, Legendre polynomials and harmonic functions YLMa@Phys.FDU ˆ1 A2e ˆ2 A3e ˆ3 的散度 A 是一个标量，定义为： （2）矢量 A(q1, q2, q3) A1e 以 S 记体积元的边界面， dS 表示大小为 dS ，方 A dS 是 A 向为面积元外法线方向的矢量，则 S 通过边界面 S 的通量，而 a(q1, q2, q3) 点的散度是 r r r Ñ×A =ò A ò ×dS / dt . S 通过坐标面 q1的通量是 A1 h2dq2h3dq3 q ， 1 通过坐标面 q1 dq1 的通量是 A1h2dq2h3dq3 q dq ； 1 1 通过坐标面 q2 的通量是 A2 h1dq1h3dq3 q ， 2 通过坐标面 q2 dq2 的通量是 A2h1dq1h3dq3 q dq ； 2 2 通过坐标面 q3 的通量是 A3 h1dq1h2dq2 q ， 3 通过坐标面 q3 dq3 的通量是 A3h1dq1h2dq2 q dq . 3 3 因此， r ù 1 é¶ ¶ ¶ Ñ×A =¶q1 A1 +¶q2 A2 +¶q3 A3 = Ah h + A h h + A hh ( ) ( ) ( ) ê 1 2 3 2 3 1 3 1 2 ú. hh ¶q2 ¶q3 1 2h3 ë¶q1 û ˆ1 A2e ˆ2 A3e ˆ3 的旋度 A 是一个矢量，它在 ê1方向 （3）矢量 A(q1, q2, q3) A1e 的分量 A 1定义为：以 l 记坐标面 q1上的面积元 dS1 h2dq2h3dq3 的边界线， r r r 其走向是关于 ê1 成右手螺旋的，则 Ñ´ A =Ñ A ò ×dl / dS1. 因为， ( r r (ab) (bc) 3 2 ) 1 l (cd ) Ñ òA×dl =[A2h2dq2 ]q +[A3h3dq3]q +dq +éë(- A2 )h2dq2 ùû l 2 (da) +é ë(- A3 )h3dq3 ù ûq2 q3 +dq3 é¶ ù ¶ =ê ( A3h3 ) (A2h2 )údq2dq3, ¶q3 ë¶q2 û 1 A3h3 A2h2 . 所以， A 1 h2h3 q2 q3 A 2 ， A 3 可以类似（指标轮换）地定义并推导出。最后有， 6 Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 12 Separation of variables in sphere coordinates, Legendre polynomials and harmonic functions YLMa@Phys.FDU r ù ù 1 é¶ ¶ 1 é¶ ¶ ˆ ˆ Ñ´ A = A h A h e + Ah A h ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 2 2 ú 1 1 1 3 3 úe2 h2h3 ê ¶q3 h3h1 ê ¶q1 ë¶q2 û ë¶q3 û ù 1 é¶ ¶ ˆ + (Ah 1 1 )úe3. ê ( A2h2 ) hh ¶ q ¶ q 1 2 ë 1 2 û （4）Laplace 算符 2 r ù 1 é¶ ¶ ¶ 利用 Ñ×A = Ah h + A h h + A hh ( ) ( ) ( ) ê 1 2 3 2 3 1 3 1 2 ú hh ¶q2 ¶q3 1 2h3 ë¶q1 û 3 u 1 u ˆ 和u ei eˆi ，得到 s h q i 1 i 1 i i i 3 2u u h2h3 u h3h1 u h1h2 u q h q q h q . h1h2h3 q1 h q 1 2 2 2 3 3 3 1 1 球坐标系中， hr 1， h r ， h r sin , 2u 1 2 u 1 u 1 2u . r sin r 2 r r r 2 sin r 2 sin2 2 柱坐标系中， h 1， h ， hz 1, 1 u 1 2u 2u u 2. 2 2 z 2 1 u 1 2u 平面极坐标系中， h 1， h , u . 2 2 2 二、分离变量对坐标系的要求 1）方程和边界条件都必须是可分离变量的（例如两者均是齐次的）； 2）既取决于方程的形式和边界条件，也与坐标系的选择有关； 3）选择坐标系的原则—便于边界条件处理： 立方系：直角坐标系； 球面系：球坐标系；椭球面系：椭球坐标系； 平面圆系：极坐标系；柱面系：柱坐标系。 7 Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 12 Separation of variables in sphere coordinates, Legendre polynomials and harmonic functions YLMa@Phys.FDU 三、圆形区域内 Laplace 方程的定解问题 例 1. 利用分离变量法求解定解问题（2+0D） ì 2 1 ¶ æ ¶u ö 1 ¶2u ï Ñ u(r ,j ) = çr ÷+ 2 2 =0, (0 £ r £ b) r ¶ r ¶ r è ø r ¶j í ï u = f (j ),周期性和自然边界条件见后。 î r =b 设 u(, ) R( ) ( ) ，代入方程并分离变量，得 ¢(j ) r d F¢ [r R¢(r )] =ºl. R(r ) dr F (j ) 由此得到两个方程: ( ) ( ) 0， 2R( ) R( ) R( ) 0 , 其中，极角方向的方程 ( ) ( ) 0与周期性边界条件构成本征值问题。这 是因为，一般来说，场量 u(r ,j ) 是单值的，应当满足， u(, 2 ) u(, ) . 因此 F (j +2p ) =F (j ). 所以 (2 ) (0) 和 (2 ) (0) （这些边界条件不 同于界面衔接条件）. 这一本征值问题的本征值和本征函数分别为 m m2 ， ( ) m( ) Am cosm Bm sinm ，( m 0,1,2, ). 现在解分离变量以后的径向方程 2R( ) R( ) R( ) 0 (Euler 型方 程)，其特点是， n 阶导数的各项又乘以自变量的 n 次方( n =0,1,2). 解法如下： 令 R k ，代入方程后得关于 k 的代数方程，解出 k 可得方程的特解。 k(k 1) k k k m2 k 0，消去 k ，得 k(k 1) k m2 0 . 解得 k1,2 m，从而得方程的两个特解， m, m . 当 k1 =k2 =m=0 时，则 两个特解为 {r k1 , r k1 ln r }={1,ln r }.( 好比 J m(x) 和 Nm(x) ) 当 l =l 0 =m=0 时， R( ) R0 ( ) C0 D0ln C01 D0 ln . ¢r m +Dm ¢r - m =Cm ¢(r m +Dmr - m) . 当 m m2 0 时， R(r ) =Rm(r ) =Cm 8 Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 12 Separation of variables in sphere coordinates, Legendre polynomials and harmonic functions YLMa@Phys.FDU 则一般解为 ¥ u(r ,j ) =å Rm(r )F m(j ) m=0 ¥ =A0 (1+D0 ln r ) +å ( Am cosmj +Bm sin mj )(r m +Dmr - m). m=1 *对于本题定解问题的圆内问题 (0 £ r £ b)，有自然边界条件 u 0 ，因此， D0 0， Dm 0 ( m 1,2, ). 这时，一般解为， u(, ) A0 Am cosm Bm sinm m ， m1 其中 Am, Bm 由边界条件给出，它们是： 1 2 1 2 f ( ) d A f ( ) cosmd ， ， m 0 0 2 am 1 2p 奇函数部分： Bm = m ò f (q)sin mqdq. 偶函数部分： A0 pa 0 **对于下面例题的圆外问题 (b £ r £ ¥ )，上述一般解也适用，但需要增加 边界条件： u 有界，或是具体问题需要具体确定。 例 2. 在电场强度为 E0 的均匀电场中，放入一个半径为 b 的无限长导体圆柱，其 轴线垂直于 E0 ，单位长度的带电量为 Q . 求导体圆柱外的电势分布。 解：分析：以圆柱的轴线为 z 轴，显然这是平面问题， 因为这个问题本身与 z 无关(2+0D). 以 E0 方向为 x 轴 方向取极坐标系，电势 u(, ) 所满足的定解问题是 ì 2 1 ¶ æ ¶u ö 1 ¶2u Ñ u ( r , j ) = r ï ÷+ 2 2 =0, (r >b) r ¶r ç ¶ r ï è ø r ¶j í ï u =0; u » u - E r cosj - Q ln r (r >>b,见下). 0 0 ïî r =a 2pe0 这里我们选取导体表面 r =b 为电势零点。第二个边界条件的右端第一项 u0 是待定常数；第二项是均匀电场 E0 的电势 - E0x =- E0r cosj ; 第三项是单独一个 带电导体在远处所产生的电势，记为 u2. 当 L ® ¥ 时，无穷多个点电荷在 r 处产 9 Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 12 Separation of variables in sphere coordinates, Legendre polynomials and harmonic functions YLMa@Phys.FDU 生的电势(需要将电势零点位移，即定义 r =¥ 为零电势): DV (r ) = 1 L /2 4pe0 - Lò /2 L / 2+ L2 / 4+r 2 Q = ln z2 +r 2 4pe0 - L / 2+ L2 / 4+r 2 Qdz Q L ln 4pe0 - L / 2+(L / 2)[1+(2r / L)2 / 2] Q L Q L ; ln( )2 = ln ® ¥ (L ® ¥ ), 4pe0 r 2pe0 r = 1 Q ln(L / r ) ( 对数发散) 。虽然新物理量 Dv(r ) = DV (r ) = 不再发散，但是将 L 2pe0L Q Q -Q ln L ® ¥ 吸收到 u2 中, 即 u2 (r ) =DV (r ) ln L = ln r . 物理上 2D 2pe0 2pe0 2pe0 的对数发散， 见 Chapter. 14. 用分离变量法，可得此定解问题的一般解为（Note: m=0,1,2,L ） ¥ ¥ m=0 m=1 u(r ,j ) =å Rm(r )F m(j ) =A0 (1+D0 ln r ) +å ( Am cosmj +Bm sin mj )(r m +Dmr - m). ìï 1+D0 lnb =0 1 由 u r =b =0 即 í m 可得， ， Dm =- b2m ( m 1,2, ). D =0 -m lnb ïî b +Dmb =0 Note: 各 m是相互独立的。于是， m ¥ é A0 b2 ö ù m æ u(r ,f ) = (lnb- ln r ) +å (Am cosmf +Bm sinmf )êr - ç ÷ ú. lnb m=1 ê èr ø ú ë û 再利用， u u0 E0 cos Q ln 20 当 a时，有 ¥ A0 Q ln r . (lnb- ln r ) +å (Am cosmj +Bm sinmj )r m =u0 - E0r cosj lnb 2pe0 m=1 比较各个 m（ m是相互独立的，这个方法等价于用正交性积分来确定系数）关 于 (r ,j ) 的 系 数 得 ， A0 = 以及 u0 =A0 = ì - E , (m=1) Q lnb ， Am =í 0 Bm 0 ( m 1,2, ), 2pe0 0, ( m = 2,3, L ) î Q lnb. 这就是信息通过边界传到体内！从而，本定解问题的物 2pe0 10 Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 12 Separation of variables in sphere coordinates, Legendre polynomials and harmonic functions YLMa@Phys.FDU E0b2 Q b 理解为： u(r ,f ) = ln - E0r cosf + cosf , 2pe0 r r 其中第一项是无限长带电导体所产生的电势，当 r >b 时，它犹如电荷集中到轴 线 0上所产生的势；第二项是原来的均匀电场 E0 的电势；第三项是圆柱面上 的感应电荷所产生的电势，它对应二维平面上位于原点的电偶极子所产生的势。 四、球坐标系下的分离变量法 1. 球坐标系的稳定问题(Laplace 方程，3+0D) 1 ¶ æ2 ¶u ö 1 ¶æ ¶u ö 1 ¶2u Ñ u = 2 çr + 2 =0. çsinq ÷+ r ¶r è ¶r ÷ ¶q ø r 2 sin2 q ¶j 2 ø r sinq ¶q è 2 或 1 1 1 Ñ2u = 2 (r 2ur ) + 2 sinquq )q + 2 2 uj j =0. ( r r r sinq r sin q 如果问题可分离变量，则令 u(r, , ) R(r )Y ( , ) ，其中 Y ( , ) 将被称为球 r2 谐函数（见第六节） 。将 u =RY 代入上述 Laplace 方程且乘以 得两个方程 RY 1 1 1 r R¢)' =Y º l (l +1). (sinq Y ) ( R Y sinq Y sin q 2 q q ¢+2rR¢- l (l +1)R =0, 从而有 r 2R¢ 2 jj (Euler 方程，下节解之) 1 1 (sinq Yq )q + 2 Yj j +l (l +1)Y =0. sinq sin q (球函数方程) 再令 Y ( , ) ( ) ( ) ，代入上述球函数方程且乘以 sin2 ，得 ( ) ( ) sinq (sinq Q¢)' ¢ 2 F¢ +l (l +1)sin2 q =º m. Q F 从而有 m2 0 ,它与周期边界条件构成本征值问题： F (j +2p ) =F (j ), F '(j +2p ) =F '(j ). {cosmj ,sin mj }, m=0,1,2,L . 而另一个方程（带参数 l , m） ¢+sinq cosq Q¢+[l (l +1)sin2 q - m2 ]Q =0. sin2 q Q¢ 记 cos x， ( ) y(x) ，代入上面的方程并除以 (1 x2 ) ，得 m2 1 x y 2xy l (l 1) 1 x2 y 0， 2 11 Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 12 Separation of variables in sphere coordinates, Legendre polynomials and harmonic functions YLMa@Phys.FDU 这是 l 阶缔合(连带)Legendre 方程，其求解见第六节的球谐函数。 若 m 0 有 1 x y 2xy l (l 1) y 0， 2 这正是 l 阶 Legendre 方程。它与自然边界条件 Q(0)和Q(p ) 有界，即 y(x) x1 有界，构成了本征值问题。它的本征值和本征函数分别为 l l =l (l +1), y(x) =Pl (x) (l =0,1,2,L ). 2. 球坐标系的非稳定问题（3+1D 振动或输运问题的齐次方程） r r utt(r , t) a2 2u(r , t) 0，或 ut (r ,t) - a2Ñ2u(r ,t) =0. 如果问题可分离变量，令 u(r, , , t) T (t)V (r, , ) ，得 T ¢¢ Ñ2V T ¢ Ñ2V 2 = º - k ,或 2 = º - k2. 2 aT V aT V 从而有 T a2k2T 0 ，或 T ¢+a2k2T =0. （这些方程易求解） 以及 （Helmholtz 方程）。 2V k2V 0， r2 再令 V (r, , ) R(r )Y ( , ) ，代入 Helmholtz 方程且乘以 得， RY 1 1 1 r R¢)'+k r =Y º l (l +1). (sinq Y ) ( R Y sinq Y sin q 2 2 2 q q 2 jj ¢+2rR¢+[k2r 2 - l (l +1)]R =0, 从而有 Y (q,j ) (见下)以及 r 2R¢ 这是 l 阶球 Bessel 方程，对其求解见下章。这个方程还可以简化如下： 令 kr x, R(r ) S(x) , 即得(自证)： x2S¢¢+2xS¢+[x2 - l (l +1)]S =0. 进一步作代换， S(x) 1 x 1 2 y(x) ，可将其化为 l 阶 Bessel 方程 （对其求解见下章），即(自证)： é 2 æ 1 ö2 ù xy¢¢+xy¢+êx - çl + ÷úy =0. è 2ø û ê ú ë 12 Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 12 Separation of variables in sphere coordinates, Legendre polynomials and harmonic functions YLMa@Phys.FDU 五、轴对称问题 Legendre 多项式 1. 轴对称问题 Legendre 多项式（复习） 设物理问题关于球以及某坐标轴是对称的，以此坐标轴为 z 轴，取球 坐标系。这时场量 u(r,q,j ) 与 无关，我们可直接设 u(r,q,j ) =R(r )Q(q) ， 将其代入物理方程 2u 1 2 u 1 u 1 2u r sin 0， r 2 r r r 2 sin r 2 sin2 2 并分离变量后，可得径向方程 r 2R 2rR l (l 1)R 0， 这个 Euler 方程的解为： Rl (r ) Cl r l Dl 1 r l 1 , 注意这个解包含了 l =0时的解系 {1,1/ r}. 分离变量后的角度方向的方程为 sin2 sin cos l (l 1) sin2 0. 记 cos x和 ( ) y(x) ，代入上面方程并除以 (1 x2 ) ，得 1 x y 2xy l (l 1) y 0， l 阶 Legendre 方程 2 （实际上，这就是 m 0的情况，这是因为 u(r,q,j ) =R(r )Q(q)F (j ) 与 无 关 ， 必 有 F (j ) 与 无 关 ， 因 此 一 定 有 m 0） . 它 与 自 然 边 界 条 件 Q(0)和Q(p ) 有界，即 y(x) x1有界，构成本征值问题。即 ì dé 2 dy(x) ù +l (l +1) y(x) =0, ï ê(1- x ) dx ú û í dx ë ï y(±1)有界. î 它的本征值和本征函数分别为 l l (l 1) ， y(x) =Pl (x) l 0,1,2, . n 当 l 2n 时， y(x) =P2n (x) =å (- 1)k k=0 (4n+2k)! x2n- 2k ; 2 k!(2n - k)!(2n - 2k)! 2n 13 Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 12 Separation of variables in sphere coordinates, Legendre polynomials and harmonic functions YLMa@Phys.FDU 4n +2- 2k)!x2n+1- 2k ( 当 l 2n 1时， y(x) =P2n+1(x) =å (- 1) 2n+1 . 2 k!(2n +1- k)!(2n +1- 2k)! k=0 n k 2. Legendre 多项式的常用性质 （1）特殊值、奇偶性和图形{Plot[LegendreP[l,x],{x,-1,1}]} Pl (1) =1， P2n (0) =(- 1)n (2n- 1)!! , (2n)!! l l Pl (- x) =(- 1) Pl (x),Pl (- 1) =(- 1) ,P2n+1(0) =0. 1 1 P0 (x) =1, P1(x) =x , P2 (x) = (3x2 - 1), P3(x) = (5x3 - 3x). 2 2 l 1 dl 2 （2）微分公式： Pl (x) = l x - 1) . l ( 2 l !dx Rodrigues 公式 l 证：利用二项式定理将 x2 1 展开，得 x 1 k!ll! k!(1) x 2 l l k 2l 2k . k0 14 Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 12 Separation of variables in sphere coordinates, Legendre polynomials and harmonic functions YLMa@Phys.FDU 对上式求导 l 次后， x 的原来幂次 2l 2k 低于 l 的项变为 0，而不为零 的项必须满足 2l 2k l ，即 k l 2 . 这样，当 l 2n 时，有 l l (2l - 2k)(2l - 2k - 1)L (l - 2k +1) xl - 2k 1 d x2 - 1) =å (- 1)k l l ( 2 l !dx 2l k!(l - k)! k=0 l 2 l (2l - 2k)! xl - 2k . l 2 k!(l - k)!(l - 2k)! 2 =å (- 1)k k=0 当 l 2n 1时，有 l-1 2 l 1 dl 2 k (2l - 2k)(2l - 2k - 1)L (l - 2k +1) l - 2k x 1 = ( 1 ) x ( ) å 2l l !dxl 2l k!(l - k)! k=0 l-1 (2l - 2k)! xl - 2k . 2 k!(l - k)!(l - 2k)! 2 =å (- 1)k l k=0 （3）积分公式：由 Legendre 多项式的微分表示式，并利用 Cauchy 高阶 导数公式， f (n) (z) n! f () d ，[ f (x ) º (x 2 - 1)l ] n 1 2i z x 2 - 1) ( 1 1 得 Pl (x) = l òg (x - x)l +1 dx, 其中 为包含 x的任一闭曲线，这叫作施雷夫 2 2pi Ñ l 列（Schlafli）积分公式。 x2 1 的 圆 作 为 积 分 回 路 [ 先 验 地 若 取 以 x点 为 圆 心 ， 半 径 为 Pl (x), x £ 1]，则 x x2 1ei ， d i x2 1ei d i xd ， 2 1 2 xx x2 1cos ，于是叫作 Laplace 积分表示式： l ( 2l (x - x) x + x2 - 1cosj 2p 1 1 Pl (x) = l 0 2 2pi ò = ( l +1 (x - x) 1 2p x + x2 - 1cosj ò 0 2p ) l dj = 1 p ) i (x - x)dj l ( 2 ò x+ x - 1cosj p 0 ) dj , l 其中 z =x + x2 - 1cosj ,| z |2 =cos2 q +sin2 q cos2 j £ 1. （4）母函数（生成函数）：引进参量 r ，设 ¥ F (x, r ) =å Pl (x)r l ,(r <1) ，将 Laplace 积分表示式代入，得 l =0 15 Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 12 Separation of variables in sphere coordinates, Legendre polynomials and harmonic functions YLMa@Phys.FDU 1 p ¥ ( F (x, r ) = ò å r x + x - 1cosf p 0 l =0 l 2 ) df =p1 ò 1- r x+ dxf - 1cosf ) ( l p 0 2 2p dj 2p 其中 r | z |£ 1. Q ò = (e <1), (请自证) 1- e cosj 1- e2 0 \ 当 r 1时，利用留数定理，可求得该积分等于 因此， F (x, r ) = F (x, r ) 1 1 2xr r 2 1 2xr r 2 [习作]. ¥ 1- 2xr +r 1 1 2 =å Pl (x)r l r 1. l =0 称为 Legendre 多项式的生成函数（母函数） 。 *从生成函数可以方便地引出一系列递推公式。 1 **同理， 1- 2xr +r 2 ¥ 1 =å Pl (x) l +1 r 1. l =0 r 对应的物理问题：在以原点为中心的单位球面与 z 轴 的 交 点 处 放 置 一 个 电 量 为 40 的 点 电 荷 ， 求 球 内 （球坐标系）任意一点 Q(r, ) 的电势 u(r, ) . 一方面， 余弦 1 定理 AQ u(r, ) 1 1 2r cos r 2 1 1 2xr r 2 r 1， 其中， x cos . 另一方面， u(r,q,j ) 应满足方程 2u 0 r 1，且与 无 1 ö æ 关（轴对称问题） ， u(r,q) =å çCl r l +Dl l +1 ÷Pl (x) r 1. r ø l =0 è ¥ 由于原点处不存在电荷， u r 0 应是有限的，必须有 Dl 0 , 所以上式成为 ¥ u(r,q) =å Cl Pl (x)r l r 1. l =0 因此， 1 1- 2xr +r 2 ¥ =å Cl Pl (x)r l r 1. l =0 为定出系数 Cl ，取 x cos 1，并注意到 Pl (1) =1，有 1 Cl r l . 1 r l 0 16 Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 12 Separation of variables in sphere coordinates, Legendre polynomials and harmonic functions YLMa@Phys.FDU 所以， Cl 1 (l 0,1,2, ) .因此， 1 ¥ 1- 2xr +r 2 =å Pl (x)r l l =0 1 1 将上式中的 r 换成 ，即得， r (r <1). ¥ 1 =å Pl (x) l +1 (r >1). 1- 2xr +r 2 r l =0 或类似地讨论球外问题也可得到上式。（为何要多此一举？左边的意义 是清楚的，要右边干吗？--表示理论，今日科学亦如此！） （5）递推公式 ** (2l +1)Pl (x) =P'l +1(x) - P'l - 1(x) (l =1,2,3,L ). 1 证明：将式 ¥ 1- 2xr +r =å Pl (x)r l 两边对 x 求导，有 2 l =0 r ¥ P'l (x)r l = å l (1- 2xr +r ) =0 将 = 1 2 3/2 r , 2 1- 2xr +r 1- 2xr +r 1 2 ¥ 1- 2xr +r 2 =å Pl (x)r l 代入上式，然后两边乘以 1 2xr r 2 ，得到， l =0 ¥ ¥ (1- 2xr +r )å P' (x)r =r å P (x)r ， 2 l =0 l l l l =0 l 比较两端 r l 1 的系数[ {r l }(l =0,1,2,L ) 相互独立]，得 Pl (x) =P'l +1(x) - 2xP'l (x) +P'l - 1(x) . 再将式 1 ¥ 1- 2xr +r 2 ¥ =å Pl (x)r l 两边对 r 求导，有 l =0 x- r lPl (x)r l = å l -1 (1- 2xr +r ) =0 将 1 2 3/2 = x- r . 2 1- 2xr +r 2 1- 2xr +r 1 ¥ 1- 2xr +r 2 =å Pl (x)r l 代入上式，然后两边乘以 1- 2xr +r 2, 得到 l =0 ¥ (1- 2xr +r )å lP (x)r 2 l =0 l l-1 ¥ =(x - r )å Pl (x)r l . l =0 对 x 求导，经整理后得 17 Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 12 Separation of variables in sphere coordinates, Legendre polynomials and harmonic functions YLMa@Phys.FDU ¥ ¥ (2l +1)Pl (x)r =å lP'l (x)r å l l l =0 l-1 =0 ¥ ¥ - å (2l +1) xP'l (x)r +å (l +1)P'l (x)r l +1 . l l =0 l =0 比较两端 r l 项的系数，得到 (2l +1)Pl (x) =(l +1)P'l +1(x) - (2l +1)xP'l (x) +lP'l - 1(x) . 与前述 Pl (x) =P'l +1(x) - 2xP'l (x) +P'l - 1(x) 消去 xP'l (x) 项，得， (2l +1)Pl (x) =P'l +1(x) - P'l - 1(x), (l =1,2,3,L ). ** xPl (x) = 1 [lPl - 1(x) +(l +1)Pl +1(x)], (l =1,2,3,L ). 2l +1 证明思路：将母函数表达式对 r 求导，乘以 1 2xr r 2 ，再应用母函 数表达式，比较系数即得。 ** Pl (x) =P'l +1(x) - 2xP'l (x) +P'l - 1(x) . ** (2l +1)Pl (x) =(l +1)P'l +1(x) - (2l +1)xP'l (x) +lP'l - 1(x) . ** Pl (x) = 1 [P'l +1(x) - P'l - 1(x)], (l =1,2,3,L ). 2l +1 L L 递推公式一般用来计算含 Pl (x) 的积分，以及用来由低阶 Legendre 多项式得到高阶 Legendre 多项式的表达式。例如: 已知 P0 (x) =1， P1(x) =x ，由递推公式 1 [lPl - 1(x) +(l +1)Pl +1(x)], (l =1,2,3,L ), 2l +1 1 1 1 1)xP1(x) - 1×P0 (x)] = (3x2 - 1) . 可得， P2 (x) = [(2×+ 1+1 2 xPl (x) = （6）正交性和完备性 1 在区间 x[- 1,1]上， {Pl (x)}为正交完备集: ò Pm(x)Pn (x)dx =0, m n; -1 p 或 x cos : ò Pm(cosq)Pn (cosq)sinqdq =0, m n. 这是 S-L 本征值问 0 1 题，前面已经告之，下面证明模方 Pl (x) =ò [Pl (x)] dx = -1 证 明 ： 在 上 述 第 二 个 递 推 公 式 xPl (x) = 2 2 : 2l +1 1 [lPl - 1(x) +(l +1)Pl +1(x)] 中 2l +1 18 Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 12 Separation of variables in sphere coordinates, Legendre polynomials and harmonic functions YLMa@Phys.FDU (l 1) 令 l 1代替 l，乘以 (2l +1)Pl (x) ，得 2l 12l 1xPl (x)Pl 1(x) 2l 1l 1Pl 2 (x)Pl (x) 2l 1l Pl (x)2 . 又将上面的递推公式直接乘以 (2l - 1)Pl - 1(x) ，得 (2l +1)(2l - 1) xPl (x)Pl - 1(x) =(2l - 1)l [Pl - 1(x)] +(2l - 1)(l +1)Pl - 1(x)Pl +1(x) . 2 两式相减，得 l (2l +1)[Pl ] - l (2l - 1)[Pl - 1] - (2l - 1)(l +1)Pl - 1Pl +1 +(2l +1)(l - 1)Pl Pl - 2 =0 2 2 (l 2) . 将此式在区间 x[- 1, +1] 积分，并利用正交性得 1 ò- 1[Pl (x)] dx = 2 2l - 1 1 2 Pl - 1(x)] dx. [ ò 2l +1 - 1 以此为递推公式，可得 1 2l - 1 1 ò [Pl (x)] dx =2l +1ò [Pl (x)] dx 2 -1 -1 2 -1 2l - 12l - 3 1 2 Pl - 2 (x)] dx [ ò 2l +1 2l - 1 - 1 3 1 2 2 =L = P1(x)] dx = . [ ò 2l +1 - 1 2l +1 = +1 1 d . l +1/ 2 lm 计算中要求 l 2，但由验算知 l 0,1也成立。 òPl (x)Pm(x)dx = -1 （7）广义 Fourier 级数 定义在区间 x[- 1,1]上的任何平方可积函数 f (x) ，均可按 {Pl (x)}展为 收敛的广义 Fourier 级数： ¥ f (x) =å Cl Pl (x) ， l =0 Cl = 1 1 1 1 f ( x )P ( x )d x = ( l + ) f (x)Pl (x)dx. l -1 -1 Pl (x) ò 2ò 例 1.在匀强电场（电场强度为 E0 ）中，放入一个半径为 b 、带电量为 Q 的导体球。求球体外的电势分布。 19 Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 12 Separation of variables in sphere coordinates, Legendre polynomials and harmonic functions YLMa@Phys.FDU 解：分析：以球心为原点，以 E0 方向为 z 轴取球坐标系。 显然电势 u(r,q,j ) 与 无关，并且 r >b （而不是图中的 r >b ）。现在的定解问题是 ì 2 1 ¶ æ2 ¶u ö 1 ¶æ ¶u ö ï Ñ u(r,q ) =r 2 ¶r çr ¶r ÷+r 2 sinq ¶q çsinq ¶q ÷=0,(r >b) è ø è ø í ï u =0, u =u0 - E0r cosq. r ®¥ î r =b 这 里 我 们 选 取 球 面 r =b 为 电 势 零 点 。 u0 是 待 求 常 数 ， E0z E0r cos 是均匀电场 E0 的电势。单独一个带电球体在无穷远处 所产生的电势为零（如此选择电势零点是因为其自身处的电势发散）。 用分离变量法，可得此定解问题的一般解为[eigenvalue l (l +1), eigenfunction {Pl (x)}, Euler solution {r l , r - l - 1}, independents on t and j . ] ¥ 1 ö 1 ö æ l æ u(r,q) =å çCl r +Dl l +1 ÷Pl (x) =å çCl r l +Dl l +1 ÷Pl (cosq) . r ø r ø l =0 è l =0 è ¥ 将该通解代入边界条件 u r =b =0，得到 Dl =- b2l +1Cl l 0,1,2, . æl b2l +1 ö 因此， u(r,q) =å Cl çr - l +1 ÷Pl (cosq) . r ø l =0 è ¥ 并非所有 Cl =0. 再将这个形式的解代入边界条 件 u r u0 E0r cos ，得 ¥ Cl r l Pl (cosq) =u - E r cosq (r ) å l 0 0 =0 所以， C0 u0 ， C1 E0 ， Cl =0 (l =2,3,L ) . 于是得到这个定解问题的解为 E0b3 b u(r,q) =u0 - u0 - E0r cosq + 2 cosq . r r 物理意义：第三项显然是均匀电场 E0 的电势，第四项是球面上的感应电 r r 荷所产生的场，相当于在球心处有一电偶极矩为 p =4pe0b3E0 的电偶极子 20 Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 12 Separation of variables in sphere coordinates, Legendre polynomials and harmonic functions YLMa@Phys.FDU (自证)。下面来看前二项的物理意义： 首先求出球外电场的径向分量： Er =- 2E b3 ¶u b =- 2 u0 +E0 cosq + 03 cosq . ¶r r r 在 球 面 附 近 ， Er r =b = E dS S u0 = 1 u +3E0 cosq, 将 此 结 果 代 入 Gauss 定 理 ： b 0 Q ，其中 S 是包围球体且半径趋于 b 的球面， dS =b2 2p sinqdq, 得到 0 -Q ( 静像法告诉我们此常数的物理意义是显而易见的，引进它是为了 4pe0b u r =b =0)。由此可见解的第二项， 生的电势。总之， u(r,q) = b Q ，正是球体作为点电荷在空间产 u0 = r 4pe0r E b3 -Q Q + - E0r cosq + 02 cosq. 4pe0b 4pe0r r 例 2.半径为 b 的均匀带电细圆环所带总电量为 40Q .求空间的电势分布。 解：以圆环中心为原点取球坐标系，它的 z 轴与圆环平面垂直。显然电势 u(r,q,j ) 与 无关。现在的定解问题分为球内、外两个，一个是 ì 2 1 ¶ æ2 ¶u ö 1 ¶æ ¶u ö Ñ u r , q = r + sin q ( ) ç ÷ ç ÷=0, (r