无所不在的定比点差（一）—— 苏清军 - 东营市一中.pdf

无所不在的定比点差（一） 一、 定比分点的概念 定比分点：M ( x , y ) 为经过两个不同的定点 A( x1 , y1 ) 、B( x2 , y2 ) 的 x1   x2  x   1     直线上的一点，且满足 AM   MB ，则：  y  y1   y2 （  为参数，  1    1 ） ． 题型一 圆锥曲线上的点作为定比分点的    为定值问题 x2 y 2 3 【例 1】 （2021•合肥模拟）已知 P (1 ， ) 是椭圆 C : 2  2  1(a  b  0) 上的一点， F1 ， F2 分别是椭圆 C 的左、 a b 2 右焦点，且 | PF1 | 5 ． 2 （1）求椭圆 C 的标准方程． （2）过点 F2 的直线 l 与椭圆 C 交于 A ， B 两点，与椭圆 C 的短轴交于点 Q ，若 | AQ | | BQ |  ，   ，试问 | AF2 | | BF2 |    是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． x2 y 2 【训练 2】（2021•吉安期末）已知椭圆 C : 2  2  1 a b ( a  b  0) 的焦距为 2，离心率为 1 ． 2 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）直线 l 与 x 轴正半轴和 y 轴分别交于点 Q ， P ，与椭圆分别交于点 M ， N ，各点均不重合且满足     PM   MQ ， PN   NQ ．若     4 ，证明：直线 l 恒过定点． 1/8 模型总结： x2 y2 2 2 模型一 如下图所示，若 A ， B 为椭圆 C : a  b  1   ( a  b  0) 上的两点，直线 AB 与 x 轴交于点 P ，与 y 轴交于点 Q ，且 QA   AP ，   QB   BP ． ① P 为左（右）焦点； ②  +   2a 2 ．则①②互为充要条件． b2 模型二 在抛物线 y  2 px 中， A ， B 为抛物线上两点， P ， Q 分别在 x 轴， y 2     轴上， QA   AP ， QB   BP ． ① P 为焦点； ②     1 ．则①②互为充要条件 模型三 双曲线一定有：① P 为焦点； 2a2 ②  b ． 2 综合拓展：①     t （ t 为定值）； ② P 为 x 轴一定点 (m ，0) ．则两者互为 m2 t 充要条件： a2  2  t ． 2/8 二、 调和点列的引入 1．调和点列的概念  AP   如下图①，点 P 在线段 AB 上，则满足  PB (  0) 的点 P 是唯一存在的．但是，如果将线段 AB 改为直线 AB ，此时，满  AP AP AQ  足 PB   的点有两个，如下图②，不妨记另一个点为 Q ，则 PB  QB   (  1) ，在此种情况下，我们称点 A 、 P 、 B 、 Q 为调和点列，或者称点 P 、 Q 调和分割点 A 、 B ． A P B 图① A P B Q 图② 特别的，当   1 时，即点 P 为 AB 的中点，则 Q 为无穷远点． 2．调和点列的性质 如下图所示：对于线段 AB 的内分点 C 和外分点 D 满足 C 、 D 调和分割 AC AD 线段 AB ，即 CB  DB ，设 O 为线段 AB 的中点，则有以下结论成立： A O C CA B D CB ①点 A 、 B 也调和分割 C 、 D ，即 AD  BD ； 2 1 1 ② AB  AC  AD （ AB 是 AC 与 AD 的调和平均数）． 3．定比分点和调和分点支配下的圆锥曲线 在椭圆或双曲线中，设 A ， B 为椭圆或双曲线上的两点，若存在 P ， xP xQ yP yQ      2 1 Q 两点，满足 AP   PB ， AQ   QB ，则一定有： a 2 b 2 在抛物线 y  2 px 中，设 A ， B 为抛物线上的两点．若存在 P ， Q 两点，     AQ    QB AP   PB 满足 ， ，一定有 yP yQ  p( xP  xQ ) ． 3/8 题型二 利用定比分点和调和分点证明特征方程 模型总结 模型一 对于抛物线的定比点差法，实际上是逆推得到的： x1   x2 x1   x2 y1   y2 y1   y2   xP xQ yP yQ 1  1   1  1   1  2 1 2 a b a2 b2 和替换法，则 是一致的， 因 此 可 以 猜 想 ： y P yQ  p ( xP  xQ ) 和 x1   x2 x1   x2 y1   y2 y1   y2  )   p( 1  1   也是一致的． 1  1  模型二 若出现 y  0 （或者 y  0 ） ，则 x x  a ，此时 Q P （或者 x  0 ） ，则 y y  b ，此时 Q P Q 2 2 P Q y P  n ，yQ = xP  m ，xQ = a2 m ；若出现 xP  0 b2 n ．对于公式中，成对出现的“ m ， a2 b2 m ”或者“ n ， n ” ，由于公式的背景和极点极线有关，不妨可以称它们 为“调和共轭数” ． 模型总结 坐标与比值转换定理（定比设点法）： 类型一 定点在 x 轴 x P  xQ x P  xQ     x1   2 2   x  x P  xQ  x P  xQ 2 2 2 一定有  （无处不在的定比设点法！！ ！） xP  xQ xP  xQ   x1   x2  x x    P  1  1    x1   x2  xP (1   ) 2 2    证明：  x   x x   x  x (1   ) xP  xQ xP  xQ ．  1 2 Q 2    1  xQ x    2  1   2 2 4/8 类型二 定点在 y 轴 x2 y 2    2 1 2 P (0 ， y ) AP   PB ，A(x1 ，y1 ) ， a b P A B 过定点 的直线与椭圆 相交于 、 两点，设 2 b   yQ  B( x2 ，y2 ) ，则一定存在点 Q 满足 AQ  QB ，根据定比点差法可知 yP ．同 yP  yQ yP  yQ  y     1 2 2   y  yP  yQ  yP  yQ 2 2 2 理：  ． 题型三 定比点差设点法与  、  取值范围问题 【训练 6】若椭圆 E1 :  1 满足 过 (1， x2 y 2 x2 y 2 与椭圆   1  E : 2 a12 b12 a22 b22 a1 b1   m(m  0) ，则称这两个椭圆相似， m 叫相似比．若椭圆 M 1` 与椭圆 M 2：x 2  2 y 2  1 相似且 a2 b2 2 ) 点． 2 （1）求椭圆 M 1 的标准方程； （2）过点 P ( 2 ，0) 作斜率不为零的直线 l 与椭圆 M 1 交于不同两点 A 、B ，F 为椭圆 M 1 的右焦点，直线 AF 、     BF 分别交椭圆 M 1 于点 G 、 H ，设 AF   FG ， BF   FH (，  R) ，求    的取值范围． 题型四 平行坐标轴的直线过定点问题 从这种题型开始，我们走进了定比点差法解题的设计体系，圆锥曲线的 题目之所以能成为压轴题，一是因为其计算逻辑，不同的题型对应不同的计 算方法． 【例 7】（2021•垫江模拟）已知椭圆 C : x2 y 2  1 a 2 b2 ( a  b  0) 的左、右焦点分别为 F1 ， F2 ，长轴长为 4 2 ， A 、 B 为椭圆上的两个动点，当 A ， B 关于原点对 称时， (| AF2 |  | BF2 |)  S△ABF2 的最大值为 16 2 ． （1）求椭圆 C 的方程；   （2）若存在实数  使得 AF1   AB ，过点 A 作直线 x  4 的垂线，垂足为 N ，直线 NB 是否恒过某点？若恒 过某点，求出该点坐标；若不过定点，请说明理由． 5/8 模型总结（中点截距定理） x2 y2  2  1 ( a  b  0) 2 b 如图所示，在椭圆 a 中， A 、 B 为椭圆上的两点，设 x 轴上一点 P (m ，0) ，存在直线 x  n 和 x 轴上一点 Q ，连接 BQ 并延长交直线 x  n 于 M ，则： ① n a2 xQ  m ；②直线 AM // x 轴；③ m 2 a2 m ． 题中知二推一． 题型五 圆锥曲线角平分线定理 三角形的内角平分线定理：在 ABC 中，若 AD 是 A 的平分线，则有 【例 9】（2018•全国卷Ⅰ）设椭圆 C : AB BD ．  AC DC x2  y 2  1 的右焦点为 F，过 F 的直线 l 2 与 C 交于 A，B 两点，点 M 的坐标为 ( 2,0) ． （1）当 l 与 x 轴垂直时，求直线 AM 的方程； （2）设 O 为坐标原点，证明： OMA  OMB ． 6/8 题型六 斜率和与积问题（齐次式解决不了的斜率问题） 斜率和与积问题在有了平移构造齐次式之后，被反向命题，关于 k PA  k PB 为定值时，在不知道点 P 坐标的情 况下，平移构造齐次式就会计算非常复杂，关于 k1k 2 为定值时，由于两条直线公共点未知或者无法准确找到 公共点时，平移构造齐次式将彻底无解，此时定比点差法站了出来，蜻蜓点水，快速破解．   若 A 、 B 在圆锥曲线上， AP   PB ，P(m ，0) ，故根据定比设点法得出三式： a2 a2 a2 a2 m m m m m  m  m m xA  xB   ， 2 2 2 2 【例 11】（2021•押题卷）已知椭圆 E : y A  y B  0 ． x2 y 2  1 a 2 b2 (a  b  0) 经过点 Q(2, 0) ，且直线 bx  cy  bc  0(c  a 2  b 2 且 c  b) 与圆 x  y  2 2 3 相切． 4 （1）求椭圆 E 的标准方程； （2）若过点 M (1 ，0) 的直线 l 交 E 于 A ，B 两点，是否存在定点 P ，使直线 AP 与直线 BP 的斜率之和为 2？ 若存在，求出该定点；若不存在，请说明理由． 模型总结 x2 y2  1 若椭圆 a 2 b 2 中，过点 M (m ，0) 的直线与椭圆交于 A，B ，存在点 P 使得 a2 m a P( ，m t) k PA  k PB  t 成立，则一定有 m 2 ． 2 7/8 题型七 向量乘积为定值问题 【例 13】 （2021•安庆二模）已知椭圆 C : x2 y 2  1 6 b2 (b  0) 的左、右焦点分别为 F1 (c,0) 和 F2 (c, 0) ， P 为椭圆 C 上任意一点，三角形 PF1 F2 面积的最大值是 3． （1）求椭圆 C 的方程；   9 （2）若过点 (2, 0) 的直线 l 交椭圆 C 于 A ， B 两点，且 Q( ， 0) ，证明： QA  QB 为定值． 4 题型八 蝴蝶模型之直线过定点与斜率为定值问题 抛物线的定比点差设点法，过定点 M (m , 0) 的直线 AB 和抛物线 y  2 px 2 x1   x2  m  1   x1  m   m  m  x1   x2 x2     1      ( p  0) 相交，设 AM   MB ， A(x1 , y1 ) ， B( x2 , y2 ) ，则有：①  y1   y2 ；② y1   y2 ； ③ 2 x1x2  m  y1 y2  2 pm  y1  2 pm  y1   2 pm     2 pm 2 pm  y2    y2   或者   由于形式非常对称，我们甚至可以  ，具体正负号 选取可以根据题意． 【例 16】 （2021•济南一模）如图， A ， B ， M ， N 为抛物线 y 2  2 x 上四个不同的点，直线 AB 与直线 MN 相 交于点 (1 ，0) ，直线 AN 过点 (2 ，0) ． （1）记 A ， B 的纵坐标分别为 y A ， y B ，求 y A  yB 的值； （2）记直线 AN ， BM 的斜率分别为 k1 ， k2 ，是否存在实数  ，使得 k2   k1 ？若存 在，求出  的值；若不存在，说明理由． 8/8